Dada una distribución invariante, ¿la matriz de transición de Markov (de estado finito) es única?

Question

El teorema de Doeblin establece que para una determinada matriz de probabilidad de transición existe una única distribución invariante para esa cadena.

¿Es también cierto lo contrario? ¿Pueden dos cadenas de Markov (de estado finito y discreto) tener la misma distribución invariante, pero tener diferentes matrices de transición?

No lo creo, pero sólo he intentado una prueba por contradicción:

Supongamos que hay dos matrices de transición, P y Q, tales que $\pi$ P = $\pi$ y $\pi$ Q = $\pi$ ( $\pi$ es la distribución invariante). Entonces $\pi$ P = $\pi$ Q y P=Q (contradicción).

Sin embargo, esto no me dice realmente por qué debería ser cierto.

Answer 1

Lamentablemente su prueba contiene un error, $\pi P = \pi Q$ no implica $P=Q$ . Considere por ejemplo $$ P = \begin{pmatrix} 0.5 & 0.5 & 0 \\ 0.5 & 0 & 0.5 \\ 0 & 0.5 & 0.5 \end{pmatrix}$$ y $$ Q = \begin{pmatrix} 0.33 & 0.33 & 0.33 \\ 0.33 & 0.33 & 0.33 \\ 0.33 & 0.33 & 0.33 \end{pmatrix}.$$ Ambos tienen la distribución estacionaria $\begin{pmatrix} 0.33 & 0.33 & 0.33 \end{pmatrix}$ pero son dos matrices diferentes.

Si se consideran los elementos del sistema algebraicamente se puede ver que el sistema tiene muchos grados de libertad. Puedes encontrar la respuesta a esta pregunta relacionada útil.