¿Cómo puede un atlas dar una noción de si una función es diferenciable o no?

Question

Definición. Un atlas es un conjunto de pares $\{(O_i,_i)\}$ tal que $\cup_iO_i=M$ y $\phi:O_i \rightarrow \mathbb{R}^n$ y lo que es más importante, para $O_i \cap O_j \neq \emptyset $ , $\tau_{ij}: \phi_i(O_i \cap O_j) \rightarrow \phi_j (O_i \cap O_j)$ es $C^{\infty}$ .

Sin embargo, Mathworld añade el siguiente comentario:

Se utiliza una estructura suave para definir la diferenciabilidad de las funciones de valor real en una variedad.

¿Cómo permite un atlas determinar qué funciones son diferenciables y cuáles no?

Answer 1

Si tiene una función $f:O_i\cap O_j\to \Bbb R$ entonces $\phi_i$ y $\phi_j$ ambos hacen $f$ en una función sobre un subconjunto abierto de $\Bbb R^n$ (decir $f_i$ y $f_j$ ). Seguramente no será la misma función, pero el hecho de que $\tau_{ij}$ (y $\tau_{ji}$ ) es $C^{\infty}$ significa que $f_i$ es diferenciable (o suave) si y sólo si $f_j$ es.

Esto significa que ser diferenciable (o suave) con respecto a algún atlas suave es una propiedad bien definida; decimos que una función $f$ en el colector es suave / diferenciable siempre que $f|_{O_i}\circ \phi_i^{-1}$ es para todos $i$ . Sin embargo, un atlas diferente podría dar conjuntos totalmente diferentes de funciones diferenciables / suaves.