Conjuntos abiertos del haz tangente en una variedad riemanniana

Question

Dejemos que $M$ sea una variedad riemanniana con una métrica $g$ y $(U,\varphi)$ a gráfico alrededor de un punto $p\in M$ .

Por un comentario de la página 63 de Geometría de Riemann por M. Do Carmo, parece que parece que cualquier conjunto abierto $\mathcal{U}\subset TU$ contiene un conjunto abierto de la forma

$$\{v_q\in TM: q\in V', ||v_q||_g<\epsilon \}$$ para $\epsilon>0$ et $V'\subset M$ un conjunto abierto cuyo cierre es compacto.

He intentado demostrarlo, pero me he quedado atascado en algún punto: Por compacidad local, podemos tomar un conjunto abierto $V'\subset \varphi(U)$ tal que $\overline{V'}$ es compacto y $\epsilon>0$ tal que $$p\in V'\times B_0(r)\subset \overline{V'}\times \overline{B_0(r)}\subset T_\varphi(\mathcal{U}):=\mathcal{U}'.$$ Por lo tanto, $$T_\varphi^{-1}(V'\times B_0(r))=\{v_q\in TM : q\in \varphi^{-1}(V'), ||v_p||_{\mathbb{R}^n}<\epsilon\}.$$ Sin embargo, no queremos que la norma en $\mathbb{R}^n$ pero la norma de $g$ ¡! Por supuesto, estos son equivalentes en cada punto de $M$ pero aquí tenemos que lidiar con un barrio abierto de puntos. Siento que puede haber un argumento de compacidad para poder tomar algunos mínimos/máximos, pero no encuentro cómo. ¿O estoy empezando mal?

Answer 1

Dado un gráfico de coordenadas $(U,\varphi)$ con $U \subset M$ y $\varphi : \tilde{U} \rightarrow U$ con $\tilde{U} \subseteq \mathbb{R}^n$ se obtiene un gráfico de coordenadas en $TM$ que denotaré por $\phi : \tilde{U} \times \mathbb{R}^n \rightarrow TU$ . Si las coordenadas en $\mathbb{R}^n$ se denotan por $(x^1, ..., x^n)$ entonces el mapa $\phi$ viene dada por $$ (x^1, ..., x^n, y_1, ..., y_n) \mapsto \sum_{i = 1}^n y_i \left. \frac{\partial}{\partial x^i} \right|_{\phi(x_1, ..., x_n)}.$$

Si se retira la métrica $g$ utilizando $\varphi$ y $\phi$ se obtiene una matriz definida positiva $A = A(x^1, ..., x^n) \in C^{\infty}(\tilde{U}, M_n(\mathbb{R}))$ que depende de las coordenadas $x^i$ tal que $$ \left|\left| \sum_{i = 1}^n y_i \left. \frac{\partial}{\partial x^i} \right|_{\phi(x_1, ..., x_n)} \right|\right|^2_g = (y_1, \ldots, y_n) A(x^1, \ldots, x^n) (y_1, \ldots, y_n)^T.$$ Si denotamos por $\vec{y} = (y_1, \ldots, y_n)^T$ y por $\left< \cdot,\cdot\right>$ el producto interior euclidiano habitual en $\mathbb{R}^n$ entonces la expresión anterior es simplemente $\left<A(x^1, \ldots, x^n)\vec{y}, \vec{y}\right>$ .

¿Cómo funciona la norma (al cuadrado) $\left<A\vec{y},\vec{y}\right>$ se compara con la norma euclidiana regular y cuadrada $\left<\vec{y}, \vec{y}\right>$ ? Tenemos

$$ c_1 \left<\vec{y}, \vec{y}\right> \leq \left<A\vec{y},\vec{y}\right> \leq c_2 \left<\vec{y}, \vec{y}\right> $$ donde podemos tomar $c_2(x^1, \ldots, x^n) = ||A(x^1,\ldots,x^n)||$ y $c_1(x^1, \ldots, x^n) = \frac{1}{||A^{-1}(x^1,\ldots,x^n)||}$ . Las constantes dependen continuamente del punto $(x^1, ..., x^n)$ porque la métrica y la norma dependen del punto, pero en un subconjunto compacto $K \subset \tilde{U}$ , puede tomar $$ C_1 = \min_{(x^1,\ldots,x^n) \in K} \frac{1}{||A^{-1}(x^1,\ldots,x^n)||}, \; C_2 = \max_{(x_1,\ldots,x^n) \in K} ||A(x^1,\ldots,x^n)|| $$ y tienen $$ C_1 \left<\vec{y}, \vec{y}\right> \leq \left<A(x^1,\ldots,x^n)\vec{y},\vec{y}\right> \leq C_2 \left<\vec{y}, \vec{y}\right> $$ con constantes que no dependen de $x^i$ . Es decir, las normas son uniformemente equivalente en subconjuntos compactos de $\tilde{U}$ . Esto es suficiente para terminar su argumento.