Demostrar que no existen reales distintos $x,y,u,v$ tal que $x^2+y^2=u^2+v^2 , x^3+y^3=u^3+v^3$ simultáneamente. Me preguntaba si convierto las dos relaciones en una sola y luego la veo como la cuadrática de $x$ Pero el proceso es bastante tedioso y puede no ser útil. Ayuda.
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zwim
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$x=1$
$y=2$
$u=-\frac 34+\frac 14\sqrt{33}+\frac 14\sqrt{-2+6\sqrt{33}}\approx 2.110644432 $
$v = -\frac 4{11}u^3-\frac 6{11}u^2+u+3\approx -0.738363107$
Y $x^2+y^2=u^2+v^2$ y $x^3+y^3=u^3+v^3$ , utilicé un CAS para hacer esto, pero ciertamente tiene soluciones reales.
He aquí otra idea para encontrar algunas soluciones "no demasiado complicadas".
Vamos a tener $\begin{cases} x=\cos(\theta_1) & u=\cos(\theta_2) \\y=\sin(\theta_1) & v=\sin(\theta_2)\end{cases}$
Obviamente $x^2+y^2=u^2+v^2=1$
Intentemos buscar múltiples puntos de $\cos(\theta)^3+\sin(\theta)^3=k$
Conversión a $t=\tan(\theta/2)$
obtenemos $f(t)=\dfrac{(1-3t^2+3t^4-t^6+8t^3)}{(1+t^2)^3}=k$
En el gráfico podemos ver que para $k\in[-1,1]$ siempre hay al menos dos valores tales que $f(t)=k$ El objetivo es tratar de encontrar los "fáciles", es decir, aquellos con una expresión algebraica no demasiado complicada.
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$k=1$ es la más sencilla, y da soluciones reales $0$ y $1$ Por desgracia, esto lleva a $\theta=0,\frac \pi2$ y el valor único $(0,1)$ para ambos $(x,y)$ y $(u,v)$ .
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$k=0$ también es simple, y da soluciones reales $1\pm\sqrt{2}$ Por desgracia, esto lleva a $\theta=\frac {3\pi}4,-\frac{\pi}4$ y de nuevo a un valor único $(-\frac{\sqrt{2}}2,\frac{\sqrt{2}}2)$ .
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$k=-1$ lleva a $t=-1,\pm\infty$ con $\theta=-\frac\pi2,\pm\pi$ y de nuevo la solución única $(-1,0)$ .
Así que experimenté con algunos valores racionales de $k$ que llevaría a una buena factorización de $f(t)-k$ :
- $k=\frac {11}{16}\quad$ da $t=\frac{2\pm\sqrt{7}}3\quad$ pero sólo una solución $(-0.4114378275,0.9114378279)$
- $k=\frac {13}{27}\quad$ da $t=\frac{3\pm\sqrt{17}}4\quad$ pero sólo una solución $(-0.5205176048,0.8538509373)$
Por desgracia, este tipo de "conjugados" $\theta=2\arctan(\frac{a\pm\sqrt{b}}c)$ parecen llevar a un valor único las dos parejas $(x,y)$ y $(u,v)$ .
De hecho, me he dado cuenta del hecho que se expone a continuación (son sólo cifras experimentales, no una prueba):
Para un valor de $|k|<\dfrac{\sqrt{2}}2$ hay dos soluciones en $t$ y dan una solución única en $(x,y)$ mientras que en la otra región tenemos cuatro soluciones en $t$ dos de ellos se conjugan y dan la misma solución en $(x,y)$ pero si tomamos una $t$ en cada par de soluciones conjugadas terminamos con dos parejas válidas $(x,y)$ y $(u,v)$ .
Ejemplo:
- $k=\frac {22}{27}\quad$ da $t=\frac{3\pm\sqrt{2}}7$ y $t=-\frac3{14}+\frac 3{14}\sqrt{15}\pm\frac 1{14}\sqrt{-136+66\sqrt{15}}\quad$ dando $(x,y)=(0.4309644061,0.9023689271)$ y $(u,v)=(0.9466350923,-0.3223073100)$
He experimentado todos los valores para $k$ con denominador $\le 2000$ pero no encontró una factorización de $f(t)-k$ en tres cuadráticas.
Siempre había un polinomio irreducible de grado $4$ por lo que no es mucho más sencillo que resolver directamente para $x=1,y=2$ como lo que se hizo en el primer ejemplo.
De todos modos, este estudio sugiere que para $\frac{\sqrt{2}}2<|k|<1$ siempre habría cuatro soluciones en $t$ dos de ellos dando dos soluciones diferentes en $(x,y)$ que lleva a una infinidad de soluciones del problema original, pero no busqué demostrarlo.
Dietrich Burde
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Para $x=1$ y $y=2$ obtenemos, utilizando el algoritmo de Buchberger, $$ u=\frac{1}{11}( - 4v^3 - 6v^2 + 11v + 33), $$ donde $v$ es una raíz del polinomio $$ f(t)=2t^4 + 6t^3 - t^2 - 33t - 22. $$ Esto tiene dos soluciones reales, a saber $v=2.11064443223$ y $v= - 0.738363108965$ .
Los métodos también funcionan para otros valores dados de $x$ y $y$ . Hay infinitas soluciones reales $(x,y,u,v)$ con distintos $x,y,u,v$ .
Leox
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