Con respecto a $m_1m_2=-1$

Question

Dadas dos rectas $$y=m_1x+c$$ y $$y=m_2x+d$$

Cuando dos líneas son perpendiculares entre sí el producto de sus gradientes, $m_1m_2=-1.$

¿Cómo puedo demostrar que $$m_1m_2=-1?$$

Answer 1

Por vectores de dirección

• $y=m_1x+c\implies v=(1,m_1)$
• $y=m_2x+c\implies w=(1,m_2)$

entonces por producto punto

$$v\cdot w = 1+m_1m_2=0\implies m_1m_2=-1$$

O como alternativa

• $m_1= \tan \theta_1$
• $m_2= \tan \theta_2=\tan (\theta_1+\pi/2)= -\cot \theta_1=-\frac 1 {\tan \theta_1}$

entonces

$$m_1m_2=\tan \theta_1\left(-\frac 1 {\tan \theta_1}\right)=-1$$

Answer 2

El ángulo $\theta$ entre 2 líneas viene dada por $$\tan(\theta)=|\frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}|$$ Supongamos que $m_1m_2\ne -1$ entonces $\tan(\theta)$ se define y por lo tanto $\theta$ no es $90^{\circ}$ que es una contradicción. Por lo tanto, debemos tener $m_1m_2=-1$ .

Answer 3

Dejemos que $l_1$ denotan la primera línea $y = m_1x+c$ y que $l_2$ denotan la segunda línea $y = m_2x+d$ . Que estas dos rectas sean perpendiculares o no depende únicamente de sus pendientes, por lo que en lo que sigue podemos establecer $c=d=0$ .

Dejemos que $P=(x_1,y_1)$ y $Q=(x_2,y_2)$ sean dos puntos de la recta $l_1$ . Entonces $$m_1 = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}.$$ Supongamos que las dos líneas son perpendiculares. Entonces $P' = (-y_1,x_1)$ y $Q'=(-y_2,x_2)$ son puntos de la línea $l_2$ (los puntos se han girado $90^{\circ}$ en sentido contrario a las agujas del reloj alrededor del origen).

La pendiente de la línea $l_2$ se ve entonces que es $$m_2 = \frac{x_2-x_1}{-y_2-(-y_1)}=\frac{x_2-x_1}{y_1-y_2} = -1/m_1.$$ Así, $$m_1m_2 = -1.$$

Answer 4

Piensa en la línea de rotación $y=m_1x+c$ 90° en el sentido de las agujas del reloj alrededor del origen. Esto dará como resultado $x$ convirtiéndose en $-y$ y $y$ convirtiéndose en $x$ por lo que la ecuación de la línea rotada será $-x=m_1y+c$ ou $y=-\frac{1}{m_1}x-\frac{c}{m_1}$ .

Answer 5

Similar a la respuesta de Gimusi, espero que un poco diferente :

$y=m_1x +c_1$ o

$m_1x -y+c_1=0$ .

Normal a $f(x,y) = m_1x-y +c_1=0:$

$\vec n = (m_1, -1,0)$

Línea con vector de dirección $\vec n$ :

$\vec r (t) =t \vec n + \vec r_0$ .

Dejemos que $\vec r_0=(0,0,0)$ .

$x(t)= t m_1, y(t)= -t1$ .

$y = -x/m_1.$