Diferenciación de orden superior de la función implícita.

Question

Dejemos que $F(x,y)=0$ sea una función implícita en términos de $x$ y $y$ . Entonces, si diferenciamos ambos lados con respecto a x, tenemos $${\partial F\over \partial x} \cdot {dx\over dx}+{\partial F\over \partial y} \cdot {dy \over dx}={\partial F\over \partial x}+{\partial F\over \partial y} \cdot {dy \over dx}=0.$$ Si reordenamos los términos, tenemos $${dy \over dx}=-{F_x \over F_y}. $$

¿Cómo podríamos desde aquí obtener la expresión ${d^2y \over dx^2}$ ? Gracias de antemano.

Answer 1

Usted sabe que $F_x + y'F_y=0$ , donde $y' = dy/dx$ . Ahora diferencie una segunda vez: $$F_{xx}x'+F_{xy}y'+y''F_y+y'(F_{xy}x'+F_{yy}y') = 0$$ $$F_{xx}+2y'F_{xy}+(y')^2F_{yy}+y''F_y=0$$ Usted sabe que $y'=-F_x/F_y$ y quieres saber $y''$ . Sólo hay que sustituir y resolver.