$a\sqrt{b} + b\sqrt{c} + c\sqrt{d} + d\sqrt{a} \le 4$

Question

Me he atascado en este problema que encontré hace unos días en un libro sobre desigualdades.

Si $a, b, c, d [0, +\infty)$ y $a+b+c+d=4$ , entonces demuestre que $$a\sqrt{b} + b\sqrt{c} + c\sqrt{d} + d\sqrt{a} \le 4$$

He pensado en la desigualdad Cauchy-Buniakowsky-Schwartz pero no ha funcionado: $$(a^2 + b^2 + c^2 + d^2)(b+c+d+a) \ge (a\sqrt{b} + b\sqrt{c} + c\sqrt{d} + d\sqrt{a})^2$$

Estoy buscando algunas pistas, no la solución completa. Gracias.

Answer 1

Porque por AM-GM $\sum\limits_{cyc}a\sqrt{b}\leq\sum\limits_{cyc}\frac{a+ab}{2}=2+\frac{(a+c)(b+d)}{2}\leq4$ .