Cohomología de Rham de grado $0$ de un colector con infinitas componentes conectadas

Question

Ejercicio 24.2 de Tu Una introducción a los manifiestos (2ª ed.) va como sigue:

Supongamos un colector $M$ tiene infinitos componentes. Calcula su espacio vectorial de cohomología de Rham $H^0(M)$ en grado $0$ . ( Una pista: por la segunda contabilidad, el número de componentes conectadas de un colector es contable).

Creo que podemos demostrar la insinuación diciendo que un colector $M$ siendo el segundo contable, por definición debe admitir una base contable $B$ . Cada componente conectado $C_\alpha$ tiene que ser cubierto por un subconjunto $B_\alpha \subset B$ y la unión disjunta $\cup B_\alpha = B$ . Si el conjunto $C_\alpha$ eran incontables, $B$ sería la unión de un número incontable de conjuntos contables, y también sería incontable, contradiciendo la suposición. ¿Es esto correcto?

Dicho esto, pocos apartado antes, se demuestra que si un colector tiene $r$ componentes conectados, un elemento de $H^0(M)$ se especifica mediante una tupla ordenada de números reales, cada número representa una función constante en un componente conectado de $M$ . Esto porque si $f$ es un $0$ -(una función suave de valor real de $M$ ), para $f$ para ser "cerrado" necesitamos tener $df=0$ en todas partes en $M$ Es decir, $f$ tiene que ser localmente constante. Como no hay ninguna exactitud no nula $0$ -formas, $H^0(M)$ ={cerrado $0$ -formas}. Entiendo que si una variedad es conexa, una función localmente constante tiene que ser constante en $M$ Así que $H^0(M) \simeq \mathbb{R}$ , mientras que si hay $r$ componentes conectados (por tanto, disjuntos), $f$ puede tener diferentes valores en cada componente, por lo que tenemos $r$ grados de libertad para el valor constante de $f$ en cada componente conectado, por lo que $H^0(M) \simeq \mathbb{R}^r$ .

Estaría tentado a decir que en el caso en que el número de componentes conectados es infinito (contable) sólo tenemos $H^0(M)$ isomorfo a un espacio vectorial de dimensión infinita, donde cada elemento puede ser representado por una secuencia contable de números reales. No tengo ninguna experiencia con espacios vectoriales no finitos, por lo que me pregunto si debo seguir avanzando o esta es una solución correcta de este ejercicio. Tampoco estoy seguro de la notación en la que debo representar la solución.

Answer 1

No es cierto que cada $C_{\alpha}$ debe estar contenida en un único $B_{\alpha}$ (piense en $M$ un solo componente). Además, la unión disjunta $B$ es incontable, aunque la familia no lo sea.

Una forma de demostrar la pista es considerando un subconjunto denso contable $A\subseteq M$ (que existe porque segundo contable implica separable). Entonces cualquier componente conectado, siendo abierto, contiene un punto de $A$ . Envío de componentes a puntos de $A$ de este modo se define un mapa inyectivo (porque los componentes son disjuntos) en un conjunto contable. Por lo tanto, el número de componentes es como máximo contable.

Por último, se ha terminado después de notar que se ha cerrado $0$ -en dicho espacio seguirán siendo las funciones localmente constantes. Este espacio es naturalmente identificable con el de las secuencias $\mathbb{R}^{\infty}$ como has dicho.