Demostrar que $i^i$ es un número real

Question

Según WolframAlpha, $i^i=e^{-\pi/2}$ pero no sé cómo puedo probarlo.

Answer 1

He aquí una prueba que no me creo en absoluto: tomar su conjugado complejo, que es $\bigl({\bar i}\bigr)^{\bar i}=(1/i)^{-i}=i^i$ . Como la conjugación compleja lo deja fijo, ¡es real!

EDITAR : En respuesta al comentario de @Isaac, creo que para justificar la fórmula anterior, hay que pasar exactamente por los mismos argumentos que la mayoría de los otros contestatarios. Para los números complejos $u$ y $v$ definimos $u^v=\exp(v\log u)$ . Ahora bien, la exponencial y el logaritmo están definidos por series con todos los coeficientes reales; alternativamente se puede decir que son analíticos, enviando reales a reales. Así, $\overline{\exp u}=\exp(\bar u)$ y $\overline{\log(u)}=\log\bar u$ . El resultado es el siguiente, barriendo siempre bajo la alfombra el hecho de que el logaritmo no está bien definido.

Answer 2

Escribe $i=e^{\frac{\pi}{2}i}$ entonces $i^i=(e^{\frac{\pi}{2}i})^i = e^{-\frac{\pi}{2}} \in \mathbb{R}$ . Pero ten cuidado, tomar poderes complejos es más... complejo... de lo que puede parecer a primera vista $-$ véase aquí para más información.

En particular, no está bien definida (hasta que hagamos alguna elección que la haga bien definida); podríamos simplemente tener bien escrito $i=e^{\frac{5\pi}{2}i}$ y obtuvo $i^i=e^{-\frac{5\pi}{2}}$ . Pero $i^i$ no puede ser igual a ambos $e^{-\frac{\pi}{2}}$ y $e^{-\frac{5\pi}{2}}$ ¿se puede?

Sin embargo, a pesar de la falta de definición, $i^i$ es siempre real, no importa qué ' $i^{\text{th}}$ poder de $i$ ' que decidimos tomar.

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Más profundidad: Si $z,\alpha \in \mathbb{C}$ entonces podemos definir $$z^{\alpha} = \exp(\alpha \log z)$$ donde $\exp w$ se define de alguna manera independiente, por ejemplo, por su serie de potencias. El logaritmo complejo se define por $$\log z = \log \left| z \right| + i\arg z$$ y, por lo tanto, depende de nuestra elección del rango del argumento. Sin embargo, si fijamos un rango de argumento, entonces $z^{\alpha}$ queda bien definida.

Ahora, aquí, $z=i$ y así $\log i = i\arg i$ Así que $$i^i = \exp (i \cdot i\arg i) = \exp (-\arg i)$$ así que no importa lo que elijamos para nuestra gama de argumentos, siempre tenemos $i^i \in \mathbb{R}$ .

Divertido, ¿eh?

Answer 3

$i^i$ toma infinitos valores:

$$i^i = e^{i \log i} = e^{i(i\pi/2 + 2 \pi i m)} = e^{-\pi/2}e^{-2 \pi m},$$

donde $m$ es un número entero.

Answer 4

Utilizando la representación que $i = e^{i \pi/2}$ tenemos $i^i = \left(e^{i\pi/2}\right)^i = e^{i^2\pi/2} = e^{-\pi/2}$ .

$i = e^{i\pi/2}$ proviene de la representación que $e^{i\theta} = \cos(\theta)+i\sin(\theta)$ que para $\theta = \pi/2$ nos da $e^{i\pi/2} = \cos \pi/2 + i \sin \pi/2 = 0+i\cdot 1 = i$ .

Edición: Para añadir a las otras fantásticas respuestas/comentarios, este es el resultado en el rama principal . Otros han comentado que se puede representar de forma equivalente $i = e^{i(2k+1/2)\pi}$ y obtener otras respuestas de valor real para $i^i$ . Wolfram Alpha le ofrece $e^{-\pi/2}$ porque su configuración por defecto es devolver el valor principal.

Editar de nuevo:

Puede parecer extraño que recurramos a esta representación polar "de la nada" de los números complejos, pero es una herramienta poderosa.

En los reales, el concepto de "exponenciación = multiplicación repetida" se rompe cuando se tienen exponentes no enteros, por lo que hay que empezar a definir la exponenciación utilizando sumas de conjuntos, lo que aprovecha la naturaleza de campo ordenado de los reales.

El campo complejo no es un campo ordenado, por lo que no existe la noción equivalente de supremacía. Entonces, ¿cómo tomamos cualquier número a la potencia $i$ ¿Y mucho menos un número complejo? La representación polar nos permite abordar esta cuestión de forma bastante inteligente.

Answer 5

Esto se desprende de la fórmula de Euler. Vamos a derivarla primero. Hay muchas formas de obtenerla, siendo el método de las series de Taylor el más popular; aquí haré una demostración diferente. Sea la forma polar del número complejo igual a $z$ . $$\implies z = \cos x + i\sin x$$ Diferenciando en ambos lados obtenemos,

$$\implies \dfrac{dz}{dx} = -\sin x + i\cos x$$

$$\implies dz = (-\sin x + i\cos x)dx$$ Integrar en ambos lados,

$$\implies \displaystyle \int \frac{dz}{z} = i \int dx$$ $$\implies \log_e z = ix + K$$ Desde $K = 0$ (Conjunto $x = 0$ en la ecuación), tenemos, $$\implies z = e^{ix}$$ $$\implies e^{ix} = \cos x + i\sin x$$ El ejemplo más famoso de un número completamente real que es igual a un real elevado a imaginario es $$\implies e^{i\pi} = -1$$ que es la identidad de Euler. Para encontrar $i$ al poder $i$ tendríamos que poner $ x = \frac{\pi}2$ en la fórmula de Euler. Obtendríamos $$e^{i\frac{\pi}2} = \cos \frac{\pi}2 + i\sin \frac{\pi}2$$ $$e^{i\frac{\pi}2} = i$$ $${(e^{i\frac{\pi}2})}^{i} = i^{i}$$ $$i^{i} = {e^{i^{2}\frac{\pi}2}} = {e^{-\frac{\pi}2}}$$ $$i^{i} = {e^{-\frac{\pi}2}} = 0.20787957635$$ Este valor de $i$ al poder $i$ se deriva de los valores principales de $\sin$ y $\cos$ que satisfaga esta ecuación. Hay infinitos ángulos a través de los cuales se puede evaluar esto; ya que $\sin$ y $\cos$ son funciones periódicas.