Parece que hay dos formas principales de "multiplicar" vectores en física, el producto cruzado y el producto punto. Suponiendo que el ángulo entre vectores se define como $(a)$ el producto punto entre vectores $\vec{A}$ y $\vec{B}$ es $AB\cos(a)$ sin dirección asignada, y el producto cruzado es $AB\sin(a)$ con la dirección perpendicular asignada. En teoría, no veo por qué no podemos definir dos operaciones más, o quizás incluso más de dos, simplemente cambiando algunas de estas partes de definición. Por ejemplo, podríamos tomar $AB\cos(a)$ y asignar ese valor a la dirección perpendicular y llamarlo producto crux, y podríamos tomar $AB\sin(a)$ y decir que es un valor escalar solamente, y llamarlo producto jimmy. El sistema actual que utilizamos para la multiplicación de vectores me parece un poco arbitrario. ¿Alguien tiene alguna idea de por qué el producto cruz y el producto punto son de alguna manera superiores al producto cruz y al producto jimmy? ¿Tienen el producto cruz y el producto punto propiedades que se ajustan mejor al mundo físico que el producto cruz y el producto jimmy?
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En 3D, el producto punto y cruz es suficiente. Por ejemplo, su producto cruz puede escribirse como $\frac{\vec{A}\cdot \vec{B}}{|\vec{A} \times \vec{B}|}(\vec{A} \times \vec{B})$ (aunque has sido un poco vago, por lo que es difícil saber si te referías a $\frac{\vec{B}\cdot \vec{A}}{|\vec{B} \times \vec{A}|}(\vec{B} \times \vec{A})$ en su lugar (se diferencian por un signo). Su vaguedad empeora con el producto jimmy, porque el ángulo $a$ porque el seno del ángulo necesita un signo, y si tuvieras $\vec{A}\circ_1 \vec{B}=AB\sin(a)$ y $\vec{B}\circ_2 \vec{A}=AB\sin(a)$ Me resulta difícil saber cuál debería ser cuál. Suponiendo que se resuelva la ambigüedad de los signos, también serían suficientes, pero no funcionarían mejor.
Pero también me gustaría argumentar en contra de que el producto cruzado escalar y vectorial sean las principales formas de producir vectores en física. En primer lugar, sólo se definen en 3D. En 2D no hay ningún vector (no nulo) mutuamente ortogonal a dos vectores. Y en 4D o superior hay demasiados. Dos vectores realmente forman un plano, y $AB\sin(a)$ te dice la magnitud del paralelogramo que forman en ese plano, así como el signo (orientación de esa magnitud) y el objeto obvio para representar eso es un plano con una orientación y una magnitud, sólo en 3D (y quizás en 7D) hay una forma única de asignar un vector a un par de vectores. Así que una vez que pasas a 4D (como en la relatividad), entonces tienes que aceptar los planos como objetos que tienen que ser tratados como planos, no trabajando con un vector ortogonal a él.
Dicho esto, ya se han hecho las cuentas. Y para la mecánica cuántica relativista no se conoce ninguna otra matemática para obtener la física correcta y esa matemática funcionará para cualquier número de dimensiones. La idea básica es que si multiplicas algo que es ortogonal a todo lo demás simplemente obtienes un objeto de mayor dimensión. Así que si tomas el vector unitario x $\vec{X}$ y lo multiplicamos por el vector unitario y $\vec{Y}$ entonces se obtiene el plano xy $\vec{X}\vec{Y}$ si se multiplica en el orden inverso se obtiene $\vec{Y}\vec{X}$ sigue siendo el plano xy pero con la orientación opuesta. Puedes tomar los vectores x,y y z y multiplicarlos para obtener $\vec{X}\vec{Y}\vec{Z}$ para obtener el 3-volumen xyz (que en 4D es útil ya que hay muchos 3-volúmenes).
La otra regla es que si se multiplica por un vector unitario que está contenido en algo se obtiene algo contenido en él que es ortogonal a él. Eso es realmente para que si usted tiene un vector unitario para que $\vec{X}\vec{X}=1$ entonces se puede multiplicar por $\vec{X}$ de nuevo para recuperar el objeto de mayor dimensión (original). Así que hiciste algo más pequeño y obtuviste el complemento ortogonal de manera que al volver a multiplicar obtuviste el objeto original. Para ser estrictamente honesto esa regla (que $\vec{X}\vec{X}=1$ para los vectores unitarios es la regla fundamental, pero es útil saber qué son estas cosas nuevas, que son realmente planos, 3 volúmenes, etc. así que lo introduzco primero para los recién llegados).
Y esto es diferente a los productos punto y cruz porque se generaliza. Este tipo de producto es útil para la física porque es absolutamente la única forma conocida de hacer mecánica cuántica relativista y también funciona para lo demás.
Al igual que la propia mecánica cuántica, tiene dos interpretaciones: la de "callar y calcular", que da el mínimo necesario para calcular las respuestas sin interpretar lo que ocurre, y que suele llamarse Álgebra de Clifford. Luego hay una versión que produce las mismas respuestas pero pinta una historia sobre lo que está pasando para ayudarte con el razonamiento sobre lo que estás haciendo y detectar tus errores y hacer una imagen que puede ser motivadora o distraer, pero calcula las mismas respuestas. Esta versión suele llamarse álgebra geométrica o cálculo geométrico. Para ser justos, en el cálculo geométrico y en el álgebra geométrica también se desarrollan otros productos, pero se basan en el fundamental, así que realmente hay más operaciones (y son útiles, muy útiles), es sólo que técnicamente podrías seguir usando el fundamental si todo lo que quisieras para obtener tus resultados.
Incluso en 3D, se pueden obtener conocimientos sobre cosas que ya ocurrieron en la física 3D. Por ejemplo, cuando construiste un campo magnético a partir de corrientes, utilizaste el producto cruzado, pero con este producto decimos que un producto cruzado debería ser realmente el plano abarcado por los vectores, no el vector ortogonal a él. Pero fíjate en la ley de la fuerza de Lorentz que nunca sumamos un campo magnético (correctamente, un plano) a un campo eléctrico (correctamente, un vector), sólo tomamos $\vec{v}\times \vec{B}$ como una fuerza (por carga), y esa especie de doble producto cruzado resulta ser el complemento ortogonal de la proyección del vector v en el plano B, lo cual parece un trabalenguas, pero es mucho más natural de lo que parece (porque es el vector que puedes combinar con la proyección para recuperar el plano B original)
Su producto crux y jimmy no se comportan bien bajo transformaciones de base. En particular, si se mapea $\vec B$ a $-\vec B$ (es decir, una reflexión), el producto crux no cambiaría de signo, por lo que el sistema de coordenadas formado por $\vec A$ , $\vec B$ y su producto crujiente cambiaría de mano.
Del mismo modo, el producto jimmy, que da una cantidad escalar, cambiaría su signo bajo dicha reflexión, cosa que no hacen las cantidades escalares.
Probablemente, sus productos tampoco satisfacen algunas propiedades básicas de los productos.
