Necesito su ayuda para evaluar este límite:
$$ \lim_{n \to \infty }\underbrace{\sin \sin \dots\sin}_{\text{$ n $ compositions}}\,n,$$
es decir, aplicamos el $\sin$ función $n$ tiempos.
Gracias.
Respuesta
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El primer seno está en $I_1=[-1,1]$ de ahí que el $n$ término de la secuencia está en el intervalo $I_n$ definido recursivamente por $I_1=[-1,1]$ y $I_{n+1}=\sin(I_n)$ . Se ve que $I_n=[-x_n,x_n]$ donde $x_1=1$ y $x_{n+1}=\sin(x_n)$ . La función seno es tal que $0\le\sin(x)\le x$ para cada no negativo $x$ por lo que $(x_n)$ es no creciente y está limitada por debajo de cero, por lo que converge a un límite $\ell$ . La función seno es continua, por lo que $\ell=\sin(\ell)$ . El único punto fijo de la función seno es cero, por lo tanto $\ell=0$ . Esto demuestra que $x_n\to0$ que la secuencia $(I_n)$ es no creciente y que su intersección se reduce al punto cero y por último, que la secuencia considerada en el post converge a cero.
Editar: El argumento anterior muestra que para cada secuencia $(z_n)$ la secuencia $(s_n)$ definido por $s_n=\sin\sin\cdots\sin(z_n)$ (la función seno que se itera $n$ tiempos para definir $s_n$ ) converge a cero. En otras palabras, no hay nada particular en la elección $z_n=n$ .
