Entre espacios topológicos, la métrica, los espacios son usualmente se considera que los animales domesticados. Describir el topológica de la noción de cercanía por una distancia es tan intuitiva (como contraposición a la definición abstracta de la topología) que no esperamos métrica de los espacios a ser demasiado salvaje. Pero es una amplia clase de objetos que creo que se puede no obstante ser bastante contra-intuitivo y patológicos de muchas maneras.
¿Cuáles son tus favoritos, tal vez de abrir los ojos, ejemplos, preferiblemente con propiedades como no se podría esperar (no necesariamente puramente métrica o propiedades topológicas)?
Como punto de partida voy a enumerar algunos de los ejemplos que, en este punto, ya no me sorprende, pero exhiben algunas propiedades que pueden desafiar (o ampliar) intuición:
- El avión dotado con el centro de la métrica (que es la distancia entre dos puntos es la distancia Euclidiana entre ellos si se encuentran en la misma línea que pasa por el origen, o la suma de sus distancias al origen de otra manera). En este ejemplo, las bolas alrededor de cero son sólo Euclidiana bolas, pero las bolas alrededor de cualquier otro punto de verse como la unión de un Euclidiana sobre el origen (que, posiblemente, puede ser vacío) y un intervalo abierto. Esto muestra que un espacio métrico no necesita mirar el mismo en todas partes, y las bolas que pueden crecer en un no muy uniforme.
- No importa cómo es grande un grupo que elija, si nos dotan con discretos métrica. Esto muestra que un metrisable (incluso completamente metrisable y localmente compacto) el espacio no necesita ser pequeño en el sentido de cardinalidad, y que podemos poner la estructura de un espacio métrico en cualquier conjunto.
- Ampliando aún más en la "grandeza" de frente, para cualquier cardinalidad $\kappa$ hay una (completamente metrisable) el espacio de Hilbert de dimensión $\kappa$. Para adecuadamente un gran $\kappa$ que puede ser muy grande en muchas maneras diferentes, por ejemplo, cualquier subconjunto denso de un espacio de este tipo tiene cardinalidad, al menos, $\kappa$ pueden $\kappa$ bolas disjuntas. Por otro lado, cualquier subconjunto compacto de un espacio de este tipo (por infinito $\kappa$) ha vacío interior, y todavía están trayectoria-conectado, así que muy lejos de ser discretos. Ejemplos relacionados son las condiciones generales normativa espacios, incluyendo los espacios de operadores y abstracta de los espacios de Banach. Tengo la curiosidad de algunos otros ejemplos prácticos de grandes espacios métricos (que no son normativa espacios vectoriales).
- Una especie de meta-ejemplo son ultrametric espacios, la satisfacción de la fuerte desigualdad de triángulo (ver wiki). Tienen la propiedad de que cada triángulo es isósceles, y que cualquier abierto de la bola es centrada en cada uno de sus puntos. Tenga en cuenta que espacios discretos son ultrametric.
- Ejemplos clásicos de ultrametric espacios son el espacio de Cantor $2^\omega$ de las secuencias binarias y el espacio de Baire $\omega^\omega$ de las secuencias de números naturales. Ambos son polacos, y a pesar de que está perfecto (cada punto es un punto límite), están totalmente desconectados. El primero es compacto, mientras que el segundo tiene la propiedad de que ningún conjunto compacto tiene interior no vacío.
- Si tomamos un conjunto de Bernstein $X$ sobre la línea real (es decir, un conjunto tal que su intersección con cualquier innumerables conjunto cerrado es no vacío, y cuyo complemento también tiene la propiedad), entonces es un espacio métrico separable de tamaño continuo, que tiene la propiedad de que cada subconjunto compacto es contable. De esto se sigue que no distinto de cero continuo medida en $X$ es el Radón, ya que cada medida debe ser cero en todos los conjuntos compactos. Esto coloca a $X$ en el lado opuesto de la polaca espacios entre metrizable espacios de una manera, ya que cualquiera limitada medida de Borel en un espacio polaco es el Radón. Tenga en cuenta que cualquier probabilidad de medida de Borel en un espacio métrico tiene que ser regular, así que no puede conseguir mucho más patológico que eso. En un frente diferente, un conjunto de Bernstein es un espacio de Baire (la intersección de una contables de la familia de abiertos densos conjuntos es denso), pero los asociados de Banach-Mazur juego es indecidible. Es, en muchas maneras, la más patológicas un subconjunto de un espacio polaco puede ser.
- Para una más geométrica ejemplo, un Gromov Hiperbólico grupo dotado de palabra de longitud métrica tiene la propiedad de que para cualquier triángulo, cualquier punto en un lado sólo puede estar lejos de los otros dos lados por una distancia acotada por una constante, no importa lo que los vértices del triángulo que podría ser. Creo que esta es una propiedad compartida por la hiperbólica espacios, pero no estoy muy familiarizado con la geometría hiperbólica así que prefiero no decir algo que no estoy seguro acerca de. :)
