Una red que es "cerrada" con respecto a un conjunto de posiciones que la contiene

Question

Según el artículo de Wikipedia para "Lattice una subred es un subconjunto no vacío de una red $L$ que es un entramado con las mismas operaciones de encuentro y unión que $L$ .

Me gustaría saber si existe un nombre para la siguiente generalización de este concepto. Sea $\mathbf{P}=(P,\leq)$ sea un poset (que no es necesariamente un entramado), y sea $L\subseteq P$ satisfacen las siguientes condiciones.

1. Por cada $x,y \in L$ existe un límite inferior mayor para $\{x,y\}$ en $\mathbf{P}$ y pertenece a $L$ .
2. Por cada $x,y \in L$ existe un límite mínimo superior para $\{x,y\}$ en $\mathbf{P}$ y pertenece a $L$ .

¿Existe un nombre estándar para el tipo de "subred" que $L$ ¿es?

Técnicamente no es un sublattice, porque $\mathbf{P}$ no se sabe que sea un entramado. Sin embargo, no basta con decir que $(L,\leq)$ forma un entramado, porque es posible que un subconjunto $L$ de $P$ para formar un entramado bajo $\mathbf{P}$ sin satisfacer las condiciones anteriores. Tomemos, por ejemplo, el siguiente contraejemplo.

Denota por $P$ el conjunto de poderes de $\{0,1,2\}$ y denotar por $\leq$ contención de conjuntos. Set $L := \left\{\emptyset, \{0\},\{1\}, P\right\}$ . Entonces $(L,\leq)$ es un entramado, sin embargo, no satisface la condición 2 anterior, porque el mínimo límite superior para $\left\{\{0\},\{1\}\right\}$ en $\mathbf{P} = (P,\leq)$ es $\{0,1\} \notin L$ .

Answer 1

El mismo tipo de pregunta se plantea con frecuencia en la teoría de semigrupos. Sea $M$ sea un monoide con identidad $1$ y que $e \not= 1$ por un idempotente de $M$ . Puede tener un subsemigrupo de $M$ que forma un monoide (o incluso un grupo) con identidad $e$ . Por ejemplo, el subsemigrupo $eMe$ es un monoide con identidad $e$ y el $\mathcal{H}$ -clase de $e$ es un grupo.

En la teoría de semigrupos se han propuesto varias denominaciones. El monoide $eMe$ a veces se denomina monoide local en $e$ . Un subsemigrupo de un semigrupo $S$ que resulta ser un grupo se llama a veces grupo en $S$ (o dentro de $S$ ).

Para volver a su pregunta, puede llamar a $L$ un subconjunto ordenado que forma un entramado o quizás un entramado en el interior $\mathbf{P}$ . Pero no olvides dar una definición precisa si quieres utilizar esta terminología no estándar.