Estoy trabajando en una pequeña prueba de esta afirmación, y aquí hay un extracto del problema que estoy siguiendo:
Supongamos que $p \equiv 1\pmod{4}$ . Demuestre que si $x^2-py^2=1$ el $x$ es impar y $y$ está en paz. Supongamos que ${x_0}^2-p{y_0}^2=1$ con $y_0>0$ , $y_0$ mínimo. Demostrar que $gcd(x_0+1,x_0-1)=2$ . Deduce que se da uno de los dos casos: Caso 1: $x_0-1=2pu^2$ , $x_0+1=2v^2$ . Caso 2: $x_0-1=2u^2$ , $x_0+1=2pv^2$ . Demuestre que en el caso 1, $v^2-pu^2=1$ con $|u|<y_0$ una contradicción con la minimidad de $y_o$ . demuestran que en el caso 2, $u^2-pv^2=-1$ . Concluir que si $p\equiv 1\pmod{4}$ entonces la ecuación $x^2-py^2=-1$ tiene una solución integral.
Observo que $0$ y $1$ son los únicos cuadrados módulo $4$ Por lo tanto $x^2$ y $y^2$ sólo puede tomar valores $0,1$ modulo $4$ . Entonces mod 4, $x^2-py^2=1$ se reduce a $x^2-y^2=1$ y esto sólo puede ocurrir cuando $x^2\equiv 1$ , $y^2\equiv 0$ y por lo tanto $x$ es impar, y $y$ está en paz.
Además, como $x_0$ es entonces impar, $x_0-1$ y $x_0+1$ son ambos pares, por lo que su gcd es al menos $2$ . Además, cualquier divisor común debe dividir $(x_0+1)-(x_0-1)=2$ , por lo que el gcd es 2.
Pero no estoy seguro de por qué los dos casos deben surgir, ya que no estoy seguro de lo que $u,v$ son. Mi opinión es que son factores coprimos de $y_0$ ? Estoy pensando en esto porque desde $y_0$ está en paz, $y_0=2uv$ para algunos factores $u,v$ de $y_0$ . Entonces $(x_0-1)(x_0+1)=p{y_0}^2=4pu^2v^2=(2v^2)(2pu^2)$ ? ¿Es esta la línea de pensamiento correcta? No estoy seguro de por qué debería seguirse eso $(x_0+1),(x_0-1)$ deben ser cada uno igual a uno de $(2u^2),(2pv^2)$ y no otro acuerdo. ¿Es porque esta es la única manera de agrupar los factores de manera que sus productos tengan gcd $2$ ? Si es así, no veo por qué $u$ o $v$ sería coprima de $p$ . Gracias por cualquier explicación.
Después de esto, creo que puedo mostrar los pasos restantes del problema.
