Desigualdades de valores propios del principio de incertidumbre de Heisenberg

Question

Considere un conjunto de $N$ Matrices hermitianas todas con las mismas dimensiones, $\{ K_i\}$ para lo cual $\sum_{j=1}^N K_j^2$ conmuta con cada $K_i$ y el conmutador de $K_i$ y $K_j$ es de rango completo para todos los $i$ y $j$ .

Entonces es el mayor valor propio de $\sum_{j=1}^N K_j^2$ estrictamente mayor que los mayores valores propios de todas las $K_i^2$ ?

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Nótese que el hecho de que el mayor valor propio de $\sum_{j=1}^N K_j^2$ es mayor que o igual al mayor valor propio de todos los individuos $K_i^2$ se desprende de esta respuesta .

Como nota aparte, mi motivación para esta pregunta proviene de la física, que detallé en un artículo similar pregunta en Physics Stack Exchange. Como se señala en esa pregunta, hay casos en los libros de texto de física en los que el hecho de que $\sum_{j=1}^N K_j^2$ tiene un valor propio máximo estrictamente mayor que cualquiera de los $K_i^2$ se imputa a la no conmutación del $K_i$ y el principio de incertidumbre de Heisenberg.

Sin embargo, esto no es obviamente el caso, y de hecho, Michael Seifert encontró una contraejemplo para el caso en que los conmutadores de $K_i$ y $K_j$ no necesitaba ser de rango completo. Con mi restricción adicional de conmutadores de rango completo, creo que la pregunta es más apropiada para la MSE, ya que no es una restricción que aparezca de forma muy natural en la mecánica cuántica.

Answer 1

Sí. Deja que $u$ sea un vector propio unitario correspondiente al mayor valor propio de $K_1^2$ . Desde $K_1$ es hermético, tiene un valor propio $\mu\in\left\{\sqrt{\lambda_\max(K_1^2)},\,-\sqrt{\lambda_\max(K_1^2)}\right\}$ . Para cualquier $j>1$ ya que $[K_1,K_j]$ tiene el rango completo, $0\ne[K_1,K_j]u=(K_1-\mu I)K_ju$ . Por lo tanto, $K_ju$ es distinto de cero y $$\lambda_\max\left(\sum_iK_i^2\right) \ge\left\langle u,\,\sum_iK_i^2u\right\rangle =\lambda_\max(K_1^2)+\sum_{j>1}\left\langle K_ju,\,K_ju\right\rangle >\lambda_\max(K_1^2).$$