Secuencia numérica

Question

A partir de $2$ y $7$ la secuencia $2, 7, 1, 4,7 ,4, 2 , 8,$ ... se construye multiplicando pares sucesivos de sus miembros y adjuntando el resultado como siguiente uno o dos miembros de la secuencia, dependiendo de si el producto es un número de una o dos cifras. Demuestra que el dígito 6 aparece un número infinito de veces en la secuencia.

Seguí escribiendo la secuencia unos cuantos términos más y vi que $6$ aparecerá unas cuantas veces, también pensé en qué pares de números generarán uno, pero no como si asumiera que ocurrirá siempre

Answer 1

Se puede comprobar que un poco más adelante en la secuencia se encuentra $\dots, 8, 2, 8, \dots$

Por lo tanto, más adelante en la secuencia encontrará $\dots, 1, 6, 1, 6\dots$

Por lo tanto, más adelante en la secuencia encontrará $\dots, 6, 6, 6, \dots$

Por lo tanto, más adelante en la secuencia encontrará $\dots, 3, 6, 3, 6, \dots$

Por lo tanto, más adelante en la secuencia encontrará $\dots, 1, 8, 1, 8, 1, 8, \dots$

Por lo tanto, más adelante en la secuencia encontrará $\dots, 8, 8, 8,\dots$

Por lo tanto, más adelante en la secuencia encontrará $\dots, 6, 4, 6, 4,\dots$

Por lo tanto, más adelante en la secuencia encontrará $\dots, 2, 4, 2, 4, 2, 4\dots$

Por lo tanto, más adelante en la secuencia encontrará $\dots, 8, 8, 8\dots$

Y así sucesivamente. Las últimas 3 líneas aquí seguirán ocurriendo en la secuencia, así que $6$ debe aparecer infinitamente a menudo.

Answer 2

(Demasiado largo para ser un comentario)

Para desmitificar un poco la forma de abordar este problema, una idea es encontrar una secuencia interminable, que luego, con suerte, se repite. No hay nada obvio que hacer, así que empecemos ingenuamente:

A partir del 2, 7:
2, 7, ...
1, 4, ...
4, ...
En este punto, no podemos continuar.

Así que, empecemos con 2, 7, 1:
2, 7, 1, ...
1, 4, 7, ...
4, 2, 8, ...
8, 1, 6, ...
8, 6, ...
4, 8, ...
3, 2, ...
6, ...
En este punto, no podemos continuar.

Entonces, empecemos con 2, 7, 1, 4:
2, 7, 1, 4, ...
1, 4, 7, 4, ...
4, 2, 8, 2, 8, ...
8, 1, 6, 1, 6, 1, 6, ...
8, 6, 6, 6, ...
4, 8, 3, 6, 3, 6, ...
3, 2, 2, 4, 1, 8, 1, 8, 1, 8, ...
6, 4, 8, 4, 8, 8, 8, 8, 8, ...
2, 4, 3, 2, 3, 2, 3, 2, 6, 4, 6, 4, 6, 4, 6, 4, ...
8, 1, 2, 6, 6, 6, 6, 6, 1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 2, 4, ...
8, 2, 1, 2, 3, 6, 3, 6, 3, 6, 3, 6, 6, 2, 4, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, ...

De aquí se deduce que una vez obtenida esa secuencia de 8, 8, 8, obtenemos el bucle tal y como señala @79037662