Cómo embalsamar $S^1\times [0, 1]$ en $\mathbb R^2$ ?

Question

Cómo definir una incrustación de $S^1\times [0, 1]$ en $\mathbb R^2$ ?

Intenté escribir $S^1=[0, 1]\sim$ où $0\sim 1$ y definí $f:S^1\times [0, 1]\longrightarrow \mathbb R^2$ el escenario, $$f(x, t)=(\cos(\pi x+\pi/2), t),$$ entonces $f$ está bien definida y es continua pero no es inyectiva. Cuando defino algo inyectivo no está bien definido, así que estoy perdiendo las esperanzas de encontrarlo.

Answer 1

Considere, con $x \in \Bbb{S}^1$ y $t \in [0,1]$ $$ f(x,t) = \left( (t+1) \cos(2\pi x) , (t+1) \cos(2\pi x) \right) $$ con $ 1 \leq t \leq 2$ .

Este $f$ es continua y mapea $\Bbb{S}^1 \times [0,1]$ en un subconjunto de $\Bbb{R}^2$ con forma de anillo. $f$ es inyectiva: Es la proyección de un cilindro de radio unitario y altura unitaria, desde un punto a lo largo del eje del cilindro una unidad por encima del cilindro, sobre un plano una unidad por debajo del cilindro, y ningún rayo desde ese punto interseca el cilindro más de una vez. Así pues, $f$ es un ejemplo de la incrustación deseada.

$f$ no es un suryecto de $\Bbb{S}^1 \times [0,1]$ en $\Bbb{R}^2$ y, por tanto, no es biyectiva. Se puede intentar conseguir una biyección componiendo con un mapa de $[0,1]$ en la media línea $p : p>0$ . Por ejemplo, considere $$ g(x,t) = \left( \tan(\pi t/2) \cos(2\pi x) , \tan(\pi t/2) \cos(2\pi x) \right) $$ Pero eso ya no es inyectivo, ya que el punto $0,0$ en $\Bbb{R}^2$ es mapeado por el círculo completo $(x \in [0,2\pi),t=0$ en el espacio $\Bbb{S}^1 \times [0,1]$ . De hecho, creo que no puede haber una incrustación de este tipo que sea uno a uno, ya que el cilindro y el plano no son topológicamente equivalentes.