Probando $1+\frac{4}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}+\frac{4}{6^2}+\frac{1}{7^2}+\frac{1}{9^2}+\frac{4}{10^2}+\frac{1}{11^2}+\cdots=\frac{\pi ^2}{4}$

Question

Probando $$1+\frac{4}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}+\frac{4}{6^2}+\frac{1}{7^2}+\frac{1}{9^2}+\frac{4}{10^2}+\frac{1}{11^2}+\cdots=\frac{\pi ^2}{4}$$ En primer lugar, pensé en probarlo comparando los términos con los de $1/n^2$ pero el problema es que faltan términos, por lo que no pude llegar a la prueba. ¿Alguien puede ayudar? Un saludo.

Answer 1

Esta suma es explícita: $$\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}+3\frac{1}{(2n)^2}-4\frac{1}{(4n)^2}$$ Puedes comprobar por ti mismo que esto elimina $n$ que son un múltiplo de cuatro, mientras que la multiplicación por cuatro términos con $n$ pero que no son un múltiplo de cuatro. En otros términos: $$\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}\left(1+\frac{3}{4} - \frac{1}{4}\right)=\frac{\pi^2}{6}\cdot\frac{3}{2}=\frac{\pi^2}{4}$$