Sección de una gavilla invertible como morfismo entre gavillas

Question

Consideremos una gavilla invertible $\mathscr L$ sobre un esquema noetheriano $X$ . Siempre supe que una sección local de $\mathscr L$ es simplemente un elemento de $\mathscr L(U)$ mientras que una sección global, o simplemente una sección, es un elemento de $\mathscr L(X)$ .

A veces, cuando hablo con la gente, me dicen algo así como

"una sección es un morfismo de gavillas $\mathscr O_X\to \mathscr L$ "

¿Es sólo una terminología extraña o hay algún tipo de relación entre ambos conceptos?

Answer 1

EDIT : Se me olvidó la palabra "adecuado" en mi ejemplo.

En este caso la sección que la gente considera es la imagen de $1\in \mathcal{O}_X(X)$ que es un elemento de $\mathcal{L}(X)$ .

Esto tiene más sentido cuando $X$ es un esquema propio conectado sobre un campo $k$ (por ejemplo, una variedad) : entonces, como consecuencia del teorema principal de Zariski, $$\mathcal{O}_X(X)=H^0(X,\mathcal{O}_X)=k s_0$$

Entonces la imagen de $s_0$ está en $H^0(X,\mathcal{L})$ .