¿Clases de Gromov-Witten (en lugar de invariantes)?

Question

Dejemos que $\overline{M}_{g,n}(X,\beta)$ sean los módulos de los mapas estables en $X$ de la clase $\beta \in H_2(X)$ . Tenemos los mapas de evaluación $\operatorname{ev}_i : \overline{M}\_{g,n}(X,\beta) \to X$ . Dado $\alpha_i \in H^\ast(X)$ El Invariante de Gromov-Witten correspondiente a la tupla $(X,\beta,g,n,\alpha_i)$ es la integral $$\int_{[\overline{M}_{g,n}(X,\beta)]^\text{vir}}\bigwedge_i \operatorname{ev}_i^\ast(\alpha_i).$$

También existe el mapa "olvidadizo" (o de "estabilización") $F : \overline{M}_{g,n}(X,\beta) \to \overline{M}\_{g,n}$ . No sé si esta es la terminología estándar (¿lo es?), pero se puede definir el Clase Gromov-Witten correspondiente a la tupla $(X,\beta,g,n,\alpha_i)$ para ser el pushforward (virtual) $$F_\ast^\text{vir}\left(\bigwedge_i \operatorname{ev}_i^\ast(\alpha_i)\right) \in H^\ast(\overline{M}_{g,n}).$$

Pregunta: ¿Existen casos no triviales en los que estas clases de Gromov-Witten hayan sido identificadas explícitamente, por ejemplo, en términos de digamos clases tautológicas sobre $\overline{M}_{g,n}$ ?

Sólo como una motivación muy ingenua, nótese que en muchas situaciones Gromov-Witten invariantes son cero simplemente por "razones estúpidas", como razones de grado/dimensión (es decir, el grado del integrando no coincide con la dimensión virtual), y por lo tanto no proporcionan ninguna información. Pero el Gromov-Witten clases puede seguir siendo distinto de cero y contener alguna información.

Answer 1

Considere $\overline{M}_{g+1}(C,1)$ donde $C$ es una curva de género g (fija). Geométricamente, los puntos de este espacio de moduli corresponden a los mapas $E\cup_p C \to C$ cuyo dominio es la unión de una curva elíptica $E$ adjunta a $C$ en un nodo $p$ . El mapa es un isomorfismo sobre $C$ y colapsa el componente $E $ al grano $p\in C$ . Por lo tanto, el espacio de moduli es isomorfo a $\overline{M}_{1,1} \times C$

que es de la dimensión 2 esperada. En consecuencia, la clase virtual es simplemente igual a la clase habitual y el mapa

$ \overline{M}\_{1,1} \times C \to \overline{M}_{g+1}$

es una inclusión y su imagen es claramente un estrato explícito en la frontera.

Answer 2

No estoy seguro de que esto responda a su pregunta, pero tal vez debería echar un vistazo a
Faber, Pandharipande: Mapas relativos y clases tautológicas

"Los empujes de todas las clases de Gromov-Witten de compactas homogéneas homogéneas compactas X se encuentran en el anillo tautológico por la fórmula de localización de la clase virtual (véase [GrP1]). No conocemos ningún ejemplo definido sobre $\bar{\mathbb{Q}}$ de una clase de Gromov-Witten para la que el empuje no es tautológico".