Dejemos que $p_1,\dots,p_T$ sea una secuencia de números reales en $[0,1]$ y que $B_1,\dots,B_T$ sea una secuencia de variables aleatorias independientes tal que $\Pr[B_t=1]=p_t$ y $\Pr[B_t=-1]=1-p_t$ . ¿Existe algún buen límite inferior de $$\mathbb{E}\left[\left|\sum_{t=1}^T B_t\right|\right]$$
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Dizpo
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No sé cómo de ajustada tiene que ser esta atadura o para qué pretendes usarla, pero una fácil sería $$\mathbb E \left(\left|\sum_{t=1}^T B_t\right|\right)\ge=T\left(\prod_{t=1}^T p_t+\prod_{t=1}^Tq_t\right),$$ donde $q_t=1-p_t$ .
Para ver que esto es cierto, observe que $$\mathbb P(B_1+\ldots+B_T=T)=p_1\cdots p_T$$ (es decir, cada $B_t$ toma el valor $1$ ), y $$P(B_1+\ldots+B_T=-T)=q_1\cdots q_T$$ (todos ellos son $-1$ ). Entonces, $$P(|B_1+\ldots+B_T|=T)=p_1\cdots p_T+q_1\cdots q_T.$$
Y así, un término de la expectativa es $T(p_1\cdots p_T+q_1\cdots q_T)$ y esto es un límite inferior, ya que todos los demás términos al calcular la expectativa también son positivos.
Michael
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Ampliando mi comentario: De la desigualdad de Jensen obtenemos $$ E\left[\left|\sum_{t=1}^T B_t\right|\right] \geq \left|E\left[\sum_{t=1}^T B_t\right]\right| = \left|\sum_{t=1}^T(2p_t-1)\right|$$
En cuanto a la estanqueidad, observamos $$\sum_{t=1}^T B_t = \sum_{t=1}^T(2p_t-1) + \sum_{t=1}^T (B_t-E[B_t])$$ Así que $$\left|\sum_{t=1}^T B_t\right| \leq \left|\sum_{t=1}^T(2p_t-1)\right| + \left|\sum_{t=1}^T (B_t-E[B_t])\right|$$ Así que \begin{align} \left|\sum_{t=1}^T (2p_t-1)\right| &\leq E\left[\left|\sum_{t=1}^TB_t\right|\right] \\ &\leq \left| \sum_{t=1}^T (2p_t-1)\right| + E\left[\left|\sum_{t=1}^T(B_t-E[B_t])\right|\right] \end{align} Sin embargo, $$ E\left[\left|\frac{1}{T}\sum_{t=1}^T(B_t-E[B_t])\right|\right] \leq \sqrt{\frac{1}{T^2}\sum_{t=1}^T Var(B_t)}\rightarrow 0$$
Editar: Por un razonamiento similar podemos obtener una forma más fuerte de estanqueidad del límite anterior: Si se cumple una de las dos condiciones de "deriva": $$\liminf_{T\rightarrow \infty}\frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}(2p_t-1)>0$$ o $$\limsup_{T\rightarrow\infty}\frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}(2p_t-1)<0$$ entonces $$\lim_{T\rightarrow\infty}\left[E\left[\left|\sum_{t=1}^{T}B_t\right|\right]-\left|\sum_{t=1}^{T}(2p_t-1)\right|\right]=0$$ Así que el límite es muy estrecho. Esto se califica objetivamente como un "buen" límite inferior.
