¿Cómo podemos expresar el ordinal más pequeño $\alpha$ tal que $X \subseteq \alpha$ ?

Question

Dejemos que $X$ sea un conjunto de ordinales.

Si $X$ no tiene ningún elemento mayor, entonces $$ \sup X \notin X \subseteq \sup X, $$ et $\sup X$ es el ordinal más pequeño $\alpha$ tal que $X \subseteq \alpha$ .

Por otro lado, si $X$ tiene un elemento mayor $\max X$ entonces $$ \max X = \sup X \in X \nsubseteq \sup X, $$ y el ordinal más pequeño $\alpha$ tal que $X \subseteq \alpha$ es $\sup X + 1$ .

¿Hay alguna forma de expresar "el ordinal más pequeño $\alpha$ tal que $X \subseteq \alpha$ " que funciona en ambos casos?

Una posibilidad sería $$ \sup \{ \beta + 1 : \beta \in X \}, $$ pero estoy buscando algo más conciso o elegante que eso.

Answer 1

$\mathrm{rank}(X)$

Answer 2

Para un conjunto determinado $X$ de ordinales, las siguientes fórmulas se refieren todas al mismo ordinal --- a saber, el ordinal más pequeño que cada elemento de $X$ : $$ \min\{\alpha \mid X \subseteq\alpha\} \\ \{ \gamma \mid \gamma \leq \beta \text{ for some } \beta \in X \} \\ \sup \{ \beta+1 \mid \beta \in X \} $$

Ninguno de ellos es tan conciso como La respuesta de Amit y tampoco son tan concisos como tenía en mente al plantear la pregunta, pero pueden ser lo mejor que podemos esperar si nos preocupan los escollos planteados en los comentarios (por Andreas y jeq ).