Ejemplos de funciones que se encuentran en $L^p(X,\mu)$ pero no en $L^q(X,\mu)$ , donde $1< p < q <\infty$ para cada $p$ y $q$ ?

Question

Se sabe que si $\mu(X) < \infty$ tenemos la inclusión $L^q(X,\mu) \subset L^p(X,\mu)$ cuando $1<p<q$ . Esto implica $L^p$ es un espacio "más grande" que $L^q$ . (¿O es una mala idea pensar en ellos como espacios grandes y pequeños?)

Podemos tener algunos ejemplos de funciones que "se encuentran" entre las grandes y las pequeñas $L^p$ espacios, es decir, $f \in L^p$ pero $f \notin L^q $ para cada $p$ y $q$ , $1<p<q<\infty$ ? Gracias.

Answer 1

En el espacio de medidas finitas $(0,1]$ Podría considerar $x^{-\alpha}$ para $\alpha > 0$ . Esto es en $L^p$ si $\alpha p < 1$ y está en $L^q$ si $\alpha q < 1$ . Es decir, si $p < \frac{1}{\alpha}$ y $q < \frac{1}{\alpha}$ respectivamente. No debería ser difícil encontrar un interesante $\alpha$ para cada elección de $p < q$ . Por ejemplo, para $p=2$ , $q=3$ , intente $\alpha = 2/5$ .

Answer 2

Dejemos que $\mu$ sea la medida de Lebesgue en $[0,1]$ .

Dejemos que $f=x^{-1/r}$ para algunos $r \in (p,q)$ . Entonces $\|f\|_p^p = \int_0^1 x^{-p/r}\mathop{dx} \le \int_0^1 x^{-(1-\epsilon)}\mathop{dx}<\infty$ pero $\|f\|_q^q = \int_0^1 x^{-q/r} \mathop{dx} \ge \int_0^1 x^{-(1+\epsilon)} = \infty$ .