Pregunta: ¿Qué significa la palabra "momento" en este caso? ¿Por qué esta elección de palabra? No me parece intuitiva (o nunca la escuché así en la universidad :) Ahora que lo pienso, tengo la misma curiosidad con su uso en "momento de inercia" ;) pero no nos centremos en eso por ahora.
Respuesta: En realidad, en un sentido histórico, el momento de inercia es probablemente de donde proviene el sentido de la palabra momentos. De hecho, se puede mostrar (como a continuación) cómo el momento de inercia se relaciona con la varianza. Esto también da una interpretación física de los momentos superiores.
En física, un momento es una expresión que implica el producto de una distancia por una cantidad física, y de este modo da cuenta de cómo se localiza o dispone la cantidad física. Los momentos suelen definirse con respecto a un punto de referencia fijo; tratan de cantidades físicas medidas a cierta distancia de ese punto de referencia. Por ejemplo, el momento de la fuerza que actúa sobre un objeto, a menudo llamado par de torsión, es el producto de la fuerza y la distancia desde un punto de referencia, como en el ejemplo siguiente.
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Menos confuso que el nombres que se suelen dar para momentos superiores serían momentos del movimiento circular, por ejemplo, momentos de inercia para el movimiento circular de los cuerpos rígidos, que es una conversión sencilla. La aceleración angular es la derivada de la velocidad angular, que es la derivada del ángulo con respecto al tiempo, es decir, $ \dfrac{d\omega}{dt}=\alpha,\,\dfrac{d\theta}{dt}=\omega$ . Considera que el segundo momento es análogo al par aplicado a un movimiento circular, o si quieres una aceleración/deceleración (también segunda derivada) de ese movimiento circular (es decir, angular, $\theta$ ) moción. Del mismo modo, el tercer momento sería una tasa de cambio del par, y así sucesivamente para momentos aún más altos para hacer tasas de cambio de tasas de cambio, es decir, derivadas secuenciales del movimiento circular. Quizás sea más fácil visualizarlo con ejemplos reales.
Hay límites a la verosimilitud física, por ejemplo, dónde empieza y termina un objeto, es decir, su soporte, lo que hace que la comparación sea más o menos realista. Tomemos el ejemplo de una distribución beta, que tiene soporte (finito) en [0,1] y mostremos la correspondencia para ello. La función de densidad de la distribución beta ( pdf ) es $$\beta(x;\alpha,\beta)=\begin{array}{cc} \Bigg\{ & \begin{array}{cc} \dfrac{x^{\alpha -1} (1-x)^{\beta -1}}{B(\alpha ,\beta )} & 0<x<1 \\ 0 & \text{True} \\ \end{array} \\ \end{array}\,,$$ donde $B(\alpha,\beta)=\dfrac{\Gamma(\alpha)\,\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha+\beta)}$ y $\Gamma(.)$ es el función gamma , $\Gamma(z) = \int_0^\infty x^{z-1} e^{-x}\,dx$ .
La media es entonces el primer momento de rotación alrededor de el $z$ -para la función beta representada como una hoja delgada de rotación rígida de densidad de área uniforme con el mínimo $x$ -fijado en el origen (0,0,0), con su base en el $x,y$ avión. $$\mu=\int_0^1r\,\beta(r;\alpha,\beta)\,dr=\frac{\alpha}{\alpha+\beta}\,,$$ como se ilustra en el caso de $\beta(r;2,2)$ es decir, $\mu=\dfrac{1}{2}$ , a continuación ![enter image description here]()
Obsérvese que nada nos impide trasladar la hoja fina de la distribución beta a otro lugar y volver a escalarla, por ejemplo, desde $0\leq r\leq1$ a $2\leq r\leq4$ o cambiar la forma vertical, por ejemplo para que sea una paleta en lugar de una joroba.
Para calcular la varianza de la distribución beta, calcularíamos el momento de inercia para una distribución beta desplazada con el $r$ -valor medio colocado en el $z$ -eje de rotación, $$\sigma^2=\int_0^1 (r-\mu)^2 \beta(r;\alpha,\beta) \, dr =\frac{\alpha \beta }{(\alpha +\beta )^2 (\alpha +\beta +1)}\,,$$ que para $\beta(r;2,2)$ es decir, $I=\sigma^2=\dfrac{1}{20}$ , donde $I$ es el momento de inercia, se ve así,
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Ahora, para una mayor así llamado momentos "centrales", es decir, momentos en torno a la media, como la asimetría, y la curtosis calculamos el $n^{\text{th}}$ momento alrededor de la media de $$\int_0^1 (r-\mu)^n \beta(r;\alpha,\beta) \, dr\,.$$ Esto también puede entenderse como la $n^{\text{th}}$ derivada del movimiento circular.
¿Y si queremos calcular al revés, es decir, tomar un objeto sólido en 3D y convertirlo en una función de probabilidad? Entonces las cosas se complican un poco más. Por ejemplo, tomemos un toro . ![enter image description here]()
Primero tomamos su sección transversal circular, luego la convertimos en una media elipse para mostrar la densidad de cualquier moneda plana como rebanada, luego convertimos la moneda en una moneda en forma de cuña para dar cuenta del aumento de la densidad con el aumento de la distancia ( $r$ ) del $z$ -y finalmente normalizamos por el área para hacer una función de densidad. A continuación se presenta un gráfico, dejando las matemáticas a cargo del lector.
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Por último, nos preguntamos cómo se relacionan estas equivalencias con el movimiento. Obsérvese que, como en el caso anterior, el momento de inercia $I$ se puede relacionar con el segundo momento central, $\sigma^2$ También conocido como la varianza. Entonces $I=\dfrac{\tau}{a}$ , es decir, la relación del par, $\tau$ y la aceleración angular, $a$ . A continuación, diferenciaríamos para obtener tasas de cambio de orden superior en el tiempo.
