Si $(G,*)$ es un grupo de orden $pq$ entonces está claro que hay subgrupos Sylow $P_q$ y $P_p$ de orden $q$ y $p$ en $G$ . Si $q>p$ entonces $P_q$ es normal.
Quiero encontrar una descomposición para todos $g \in G$ existe $(q',p') \in P_q \times P_p$ tal que $g = q'*p'$ pero he estado atascado durante unas 8 horas. Cómo puedo encontrar dicha descomposición?
Un grupo $G$ de orden $pq$ es abeliano o tiene centro trivial. En el segundo caso, no puede ser nilpotente, por lo que $G$ no puede ser el producto directo de sus subgrupos Sylow $G=P_q\times P_p$ . Además, si tenemos $G=P_q\times P_p$ entonces $P_q$ y $P_p$ son cíclicos, por lo que $G$ es abeliano. Pero esto no es cierto en general. Tomemos el producto semidirecto $G= C_p\rtimes_\varphi C_q$ para $q\mid p-1$ . Se trata de un grupo no abeliano y no ilpotente.
Desde $p$ y $q$ son diferentes primos, el lema de Bézout garantiza la existencia de $m,n \in \mathbb{Z}$ con $1=mp+nq$ . Por lo tanto, $g=(g^p)^m \cdot (g^q)^n$ . Ahora demuestre que $g^p \in P_q$ y $g^q \in P_p$ . Por tanto, las potencias de estos elementos están en los mismos subgrupos respectivos.
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