Pregunta de prueba en álgebra lineal

Question

Supongamos que $A$ es una matriz cuadrada con $\text{Col}(A)\subseteq\text{Null}(A)$ . Demostrar que $A^2= 0$ .

He intentado usar la definición de espacio de columnas de A y espacio nulo de A, y la multiplicación de matrices, pero no hay progreso.

Answer 1

Simplemente, tenga en cuenta que

$$A^2=A\cdot A =A\cdot [c_1\,\ldots \, c_n]=[Ac_1\,\ldots \, Ac_n]$$

donde $c_1, c_2, \dots,c_n$ son las columnas de $A$ .

Answer 2

Se puede observar que, para cada vector columna $x$ (de dimensiones adecuadas), $Ax\in\operatorname{Col}(A)$ .

Answer 3

Un hecho útil es que el rango de una transformación lineal es el espacio de columnas de su matriz en relación con las bases estándar. Y eso demuestra tu resultado.

La razón es que si $A=(a_{ij})$ , entonces si $\vec x=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{pmatrix}$ tenemos $A\vec x=x_1\begin{pmatrix}a_{11}\\\vdots\\a_{n1}\end{pmatrix}+\dots+x_n\begin{pmatrix}a_{1n}\\\vdots\\a_{nn}\end{pmatrix}$ .