Observe la condición marcada en azul en el paso 3: \begin{align*} \sum_{k,m,n}\color{blue}{[k^3\leq n<(k+1)^3]}[n=km][1\leq n\leq 1000] \end{align*}
contiene todos los valores de $n$ en el intervalo $\left[k^3,(k+1)^3\right)$ siempre y cuando $1\leq k < 10$ . Esto ya no es así cuando se considera el valor límite $n=1000$ . Por eso $n=1000$ o de forma equivalente $k=10$ se trata por separado.
Obtenemos \begin{align*} \sum_{k,m,n}&[k^3\leq n<(k+1)^3][n=km][1\leq n\leq 1000]\tag{step 3}\\ &=\color{blue}{\sum_{k,m,n}[k^3\leq n<(k+1)^3][n=km][n=1000]}\\ &\qquad\qquad+\sum_{k,m,n}[k^3\leq n<(k+1)^3][n=km][1\leq n < 1000]\tag{1}\\ &=\color{blue}{\sum_{k,m}[k^3\leq 1000<(k+1)^3][km=1000]}\\ &\qquad\qquad+\sum_{k,m,n}[k^3\leq n<(k+1)^3][n=km][1\leq n < 1000]\tag{2}\\ &=\color{blue}{\sum_{k}[k=10]}+\sum_{k,m,n}[k^3\leq n<(k+1)^3][n=km][1\leq n < 1000]\tag{3}\\ &=\color{blue}{1}+\sum_{k,m}[k^3\leq km<(k+1)^3][1\leq k<10]\tag{step 4}\\ \end{align*}
Comentario:
-
En (1) separamos el caso $n=1000$ .
-
En (2) sustituimos $n=1000$ en la suma de la izquierda.
-
En (3) observamos que $[k=10]$ es el único caso con contribución no nula en la suma de la izquierda.
