Para las funciones continuas, la preimagen del conjunto abierto es abierta.

Question

Dejemos que $f$ sea una función continua de un espacio métrico $X$ en $Y$ . Si $V\subset Y$ y $V$ es abierto, entonces demuestre que $f^{-1}(V)$ está abierto.

Las pruebas que he visto del hecho de que los conjuntos abiertos tienen preimágenes abiertas o bien utilizan el hecho de que las funciones continuas mapean puntos límite a puntos límite, o bien utilizan una prueba completamente topológica.

¿Existe una prueba de sentimiento más básica? ¿Algo que sólo utilice la definición básica de conjuntos abiertos y la definición básica de continuidad? ¿O son estos argumentos secuenciales/topológicos el único argumentos para hacer?

Answer 1

Dejemos que $f$ sea una función continua de un espacio métrico $X$ en $Y$ . Si $V\subset Y$ y $V$ es abierto, entonces demostraremos que $f^{-1}(V)$ está abierto.

Supongamos que $p\in X$ y $f(p)\in V$ . Desde $V$ es abierto, existe $\varepsilon>0$ tal que $y=f(x) \in V$ si $d_{Y}(f(x),f(p))<\varepsilon$ y como $f$ es continua en $p$ existe $\delta>0$ tal que $d_{Y}(f(x),f(p))<\varepsilon$ si $d_{X}(x,p)<\delta$ . Así, $x\in f^{-1}{(V)}$ tan pronto como $d_X(x,p)<\delta$ .