¿Definición de mapa a subdivisión baricéntrica?

Question

Estoy leyendo el libro de Rotman An Introduction to Algebraic Topology, p.247 y estoy confundido con alguna notación.

¿Qué es la $\operatorname{Sd} : K \to \operatorname{Sd} K$ ? Aquí, $\operatorname{Sd}K$ es la subdivisión baricéntrica.

Tenga en cuenta que $\operatorname{Vert}(K) \subset \operatorname{Vert (Sd}K)$ (conjuntos de vértices). Sea $i$ sea la inclusión.

Supongo que el $\operatorname{Sd}$ significa esta inclusión. Y mi pregunta es, ¿es esta inclusión un mapa simplicial? ; es decir, siempre que $\{ p_0, \cdots , p_q \}$ abarca un simplex de $K$ entonces $\{i(p_0),\cdots, i(p_q) \}$ abarca un simplex de $\operatorname{Sd}K$ ?

Answer 1

En el contexto $K$ debe tratarse como un complejo simplicial abstracto.Recordemos su definición en el Introducción a la topología algebraica Capítulo 7, p. 141:

Definición Dejemos que $V$ sea un conjunto finito. Un complejo simplicial abstracto $K$ es una familia de subconjuntos no vacíos de $V$ , llamado simplexes , de tal manera que

(i) si $v \in V$ entonces $\{v\} \in K$ (esta condición parece redundante)

(ii) si $s \in K$ y $s' \subset s$ entonces $s' \subset K$

Una llamada $V$ el conjunto de vértices de $K$ y lo denota por $\mathrm{Vert}(K)$ un simplex $s \in K$ teniendo $q+1$ vértices distintos (elementos en $V$ se llaman vértices creo, aunque el autor no lo menciona explícitamente) se llama $q$ -simplemente .

Por lo tanto, $K$ es formalmente un conjunto. Su elemento también es un conjunto.

Y recuerda la definición de subdivisión baricéntrica del complejo simplicial abstracto en la misma página:

Ejemplo 7.11. si $K$ es un complejo simplicial abstracto, construimos su subdivisión baricéntrica $\mathrm{Sd} K$ de la siguiente manera(Aquí $\mathrm{Sd}K$ es también un complejo simplicial abstracto):

definir $\mathrm{Vert}(\mathrm{Sd}K) = \{\text{simplexes} ~ \sigma: \sigma \in K\}$ ;

definen un simplex en $\mathrm{Sd}(K)$ para ser un conjunto $\{\sigma_0, \sigma_1, \dots, \sigma_q\}$ con $\sigma_0 < \sigma_1 < \cdots < \sigma_q$ (donde $\sigma < \sigma'$ significa $\sigma \subsetneq \sigma'$ ).

Por lo tanto, los vértices de $\mathrm{Sd}K$ no es un vértice en $K$ . Por la definición son todos los simplex en $K$ . Así que formalmente los veretices en $\mathrm{Sd}K$ son conjuntos. Los simplex en $\mathrm{Sd}K$ formalmente son conjuntos formados por conjuntos.

Dado que ambos $K$ y $\mathrm{Sd}K$ son conjuntos. Ahora podemos definir $\mathrm{Sd}$ : $$ \begin{align} \mathrm{Sd}: K &\to \mathrm{Sd}K \\ \sigma &\mapsto \{s \in K: s \subset \sigma\} \end{align} $$

Tal vez un ejemplo(tomando de John M. Lee Introducción a las Múltiples Topológicas (Ejemplo 5.42(c)) es que $V=\{1,2,3\}$ , $K = \{\{1\}, \{2\}, \{3\}, \{1,2\}, \{2, 3\}, \{1, 3\}\}$ . Entonces el conjunto de vértices de $\mathrm{Sd}{K}$ es $K = \{\{1\}, \{2\}, \{3\}, \{1,2\}, \{2, 3\}, \{1, 3\}\}$ y (no estoy seguro de que sea correcto.) $$ \begin{aligned} \mathrm{Sd}K &= \{\{\{1\}\}, \{\{2\}\}, \{\{3\}\}, \{\{1,2\}\}, \{\{2, 3\}\}, \{\{1, 3\}\}\} \\ &\cup \{\{\{1\}, \{1, 2\}\},\{\{1\}, \{1, 3\}\},\{\{2\}, \{1, 2\}\},\{\{2\}, \{2, 3\}\},\{\{3\}, \{2, 3\}\},\{\{3\}, \{1, 3\}\}\} \end{aligned} $$

Tome $\sigma = \{1, 2\} \in K$ como ejemplo, $$ \mathrm{Sd}\sigma = \{\{1\}, \{1, 2\}\} $$

Espero que esto ayude. Yo también estoy aprendiendo topología algebraica. Es la primera vez que reviso el contenido sobre el complejo simplicial. Si hay algo incorrecto en la respuesta por favor comenten. Gracias.

Edición: Creo que he cometido un error. Para el ejemplo $\sigma = \{1, 2\}$ La imagen de la misma tiene dos opciones. Tal vez no esté bien definida. Pero ignorando el significado de $\mathrm{Sd}: C_*(K) \to C_*(\mathrm{Sd}K)$ parece que $\mathrm{Sd}_\#$ puede definirse sumando los elementos de la subdivisión (formalmente por adición de grupo abeliano libre).

Answer 2

Rotman's $\operatorname{Sd}: K \to \operatorname{Sd} K$ no tiene sentido. Debería ser un mapa simplificado porque escribe $\operatorname{Sd}_\# : C_\#(K) \to C_\#(\operatorname{Sd} K)$ y estos mapas en cadena inducidos sólo se definen para los mapas simpliciales.

Ahora mira el ejemplo comentado en la respuesta de onriv:

$V=\{1,2,3\}, K = \{\{1\}, \{2\}, \{3\}, \{1,2\}, \{2, 3\}, \{1, 3\}\}$ .

Es la versión abstracta de un triángulo (3 vértices, 3 aristas):

.

Su subdivisión bayrycéntrica $\operatorname{Sd} K$ tiene seis vértices y seis $1$ -y es fácil ver que se puede representar como

La primera homología simplicial de ambos $K$ y $\operatorname{Sd} K$ es $\mathbb Z$ (véase el lema 9.16 y nótese que $\lvert K \rvert = \lvert \operatorname{Sd} K \rvert \approx S^1$ ). La imagen de cualquier mapa simplicial $\varphi : K \to \operatorname{Sd} K$ puede contener sólo uno o dos vértices adyacentes de $\operatorname{Sd} K$ (nótese que los bordes de $K$ deben ser asignados a vértices o aristas o $\operatorname{Sd} K$ . En fin, $\varphi$ factores a través de un subcomplejo $L \subset \operatorname{Sd} K$ tal que $\lvert L \rvert$ es contraíble, y por lo tanto $\varphi_\#$ no puede inducir un isomorfismo entre grupos homológicos simpliciales (que son no triviales en dimensión $1$ ). Observando la prueba del lema 9.16, vemos que todo el planteamiento no tiene sentido.

Entonces, ¿qué se puede hacer? De hecho, se puede demostrar que cualquier aproximación simplicial aproximación $\varphi : \operatorname{Sd} K \to K$ a la identidad en $\lvert \operatorname{Sd} K \rvert = \lvert K \rvert$ induce un isomorfismo en grupos homológicos simpliciales que no depende de la elección de $\varphi$ . No sé si su inversa es inducida por algún mapa en cadena "natural" $C_\#(K) \to C_\#(\operatorname{Sd} K)$ . Si lo es, entonces podríamos denotarlo por $\operatorname{Sd}_\#$ aunque no es inducido por un mapa simplicial $K \to \operatorname{Sd} K$ .