Esta es una buena pregunta y un poco complicada por varias razones. Intentaré simplificar las cosas.
SI Segundo
En primer lugar, veamos el moderno definición del segundo SI .
El segundo, símbolo s, es la unidad de tiempo del SI. Se define tomando el valor numérico fijo de la frecuencia del cesio ∆νCs, el imperturbable frecuencia de la transición hiperfina del estado básico del cesio 133, es de 9192631770 cuando se expresa en la unidad Hz, que es igual a s-1.
Énfasis mío
La palabra clave aquí es imperturbable . Esto significa, entre otras cosas, que el átomo de Cs debe tener no movimiento y debe haber no campos externos. Volveremos a hablar de por qué estos efectos sistemáticos son muy importantes en breve.
Cómo funciona un reloj atómico
¿Cómo construimos un reloj basado en estas definiciones del segundo? Lo hacemos de la siguiente manera. La frecuencia de transición del Cs es de unos 9,19 GHz. Se trata de una señal de microondas. Utilizando la electrónica analógica, los ingenieros son capaces de hacer señales eléctricas muy precisas a estas frecuencias y estas frecuencias pueden ser sintonizadas para abordar la transición atómica del Cs. La idea básica es bañar los átomos de Cs en la radiación de microondas en la proximidad de 9,192631770 GHz. Si está en resonancia los átomos serán excitados al estado excitado. Si no lo están, se quedarán en el estado de tierra. Así, midiendo si los átomos están en el estado de tierra o en el de excitación se puede determinar si la señal de microondas está en resonancia o no.
Lo que realmente acabamos utilizando como reloj (lo que marca los eventos periódicos que podemos contar) es en realidad la señal de microondas de 9,19 GHz que genera alguna caja electrónica*. Una vez que vemos 9192631770 oscilaciones de esta señal de microondas (contadas midiendo el cruce por cero de la señal de microondas utilizando la electrónica) decimos que ha pasado un segundo. El objetivo de los átomos es comprobar que la frecuencia de microondas es la adecuada. Esto es similar a la forma en que usted podría reajustar el reloj de su microondas u horno para que coincida con su teléfono de vez en cuando. Calibramos o disciplina de un reloj a otro.
Así, un reloj atómico funciona disciplinando una señal de microondas a una frecuencia de transición atómica. Ahora, supongamos que tú construyes un reloj basado en este principio y yo también construyo uno y ponemos en marcha nuestros relojes al mismo tiempo (encendemos nuestros osciladores de microondas y empezamos a comparar con los átomos de vez en cuando). Hay dos posibilidades. La primera es que nuestros dos relojes siempre garrapata en el exacto al mismo tiempo. La segunda es que hay ruido o fluctuaciones en alguna parte del sistema que hacen que tengamos ticks en momentos ligeramente diferentes. ¿Qué crees que ocurre? Deberíamos guiarnos por el principio de que nada en la física experimental es nunca exacto. Siempre hay ruido. La física de los relojes atómicos consiste en aprender y comprender el ruido.
Precisión del reloj
Este es el tema principal de la pregunta del PO. Aquí es también donde la palabra clave imperturbable vuelve a entrar en juego. El Efecto Zeeman dice que si el átomo está en un campo magnético su frecuencia de transición se desplazará ligeramente. Esto significa que un campo magnético constituye una perturbación. Ésta es una de las razones por las que su reloj y el mío pueden marcar en momentos diferentes. Nuestros átomos pueden experimentar campos magnéticos ligeramente diferentes. Ahora bien, por esta razón, usted y yo nos esforzaremos para que no haya absolutamente ningún campo magnético en nuestro reloj atómico. Sin embargo, esto es difícil porque hay materiales magnéticos que necesitamos utilizar para construir nuestro reloj, y hay campos magnéticos debidos a la tierra y a los destornilladores en el laboratorio y a todo tipo de cosas. Podemos hacer todo lo posible para eliminar el campo magnético, pero nunca podremos eliminarlo por completo. Una cosa que podemos hacer es intentar medir la magnitud del campo magnético y tenerlo en cuenta a la hora de determinar la frecuencia de nuestro reloj. Supongamos que los átomos experimentan un desplazamiento Zeeman lineal de $\gamma = 1 \text{ MHz/Gauss}$ **. Es decir
$$ \Delta f = \gamma B $$
Ahora, si entro en mi reloj atómico puedo intentar hacer lo posible para medir el campo magnético en el lugar donde se encuentran los átomos. Supongamos que mido un campo magnético de 1 mG. Esto significa que tengo un desplazamiento conocido de mi frecuencia de transición Cs de $\Delta f = 1 \text{ MHz/Gauss} \times 1 \text{ mG} = 1 \text{ kHz}$ . Esto significa que, en ausencia de otras perturbaciones en mis átomos, esperaría que mis átomos tuvieran una frecuencia de transición de 9,19263 2 770 GHz en lugar de 9,19263 1 770 GHz.
De acuerdo, si tú y yo medimos los campos magnéticos de nuestros relojes y compensamos este desplazamiento lineal de Zeeman, ahora nuestros relojes marcan la misma frecuencia, ¿verdad? No es así. El problema es que, independientemente de cómo midamos el campo magnético, esa medición tendrá cierta incertidumbre. Así que podría medir que el campo magnético de mi reloj es
$$ B = 1.000 \pm 0.002\text{ mG} $$
Esto corresponde a una incertidumbre en mi frecuencia de transición atómica de
$$ \delta f = 2 \text{ Hz} $$
Eso significa que debido a la incertidumbre sobre mis cambios sistemáticos No sé exactamente la frecuencia de transición de mis átomos. Es decir, no tengo imperturbable átomos de Cs en estado básico, por lo que mi experimento no aplica exactamente la definición del SI del segundo. Es sólo mi mejor suposición.
Pero, tenemos alguna información. ¿Y si pudiéramos comparar mis átomos con perfecto ¿Átomos de Cs no perturbados? ¿Cuánto puede diferir mi reloj de ese reloj ideal? Supongamos que disminuyo la frecuencia de mi reloj en 1 kHz para tener en cuenta el desplazamiento del campo magnético, de modo que mi reloj funciona a
$$ f_{real} = 9192631770 \pm 2 \text{ Hz} $$
Mientras que el reloj Cs ideal funciona (por definición del segundo SI) exactamente a
$$ f_{ideal} = 9192631770 \text{ Hz} $$
Vamos a ejecutar ambos para $T= 1 \text{ s}$ . El reloj ideal, obviamente, hará un tic-tac $$ N_{ideal} = f_{ideal} T = 9192631770 $$ oscilaciones ya que esa es la definición de un segundo. ¿Cuántas veces hará tictac mi reloj? Supongamos en el peor de los casos que mi reloj es lento en 2 Hz. Entonces hará un tic-tac
$$ N_{real} = f_{real} * T = 91926317\textbf{68} $$
Fue dos veces más lento después de un segundo. Dando la vuelta a esto podemos preguntarnos si utilizamos mi reloj para medir un segundo (es decir, si dejamos que haga tictac $N_{real} = 9192631770$ bajo el supuesto -nuestra mejor suposición- de que la frecuencia real del reloj es efectivamente de 9,192631770 GHz) ¿cuánto tiempo tardaría realmente?
$$ T_{real} = 9192631770/f_{real} \approx 1.00000000022 \text{ s} $$
Vemos que después de un segundo mi reloj se retrasa unos 200 ps después de 1 s. Bastante bien. Si se hace funcionar mi reloj durante $5 \times 10^9 \text{ s} \approx 158.4 \text{ years}$ entonces se desviará un segundo. Esto corresponde a una incertidumbre fraccional de aproximadamente
$$ \frac{1 \text{ s}}{5 \times 10^9 \text{ s}} \approx \frac{2 \text{ Hz}}{919263170 \text{ Hz}} \approx 2\times 10^{-10} = 2 \text{ ppb} $$
Incertidumbre de la frecuencia a los segundos perdidos
Aquí quiero hacer algunas manipulaciones matemáticas más para mostrar la relación entre la incertidumbre de la frecuencia fraccionaria para un reloj y la métrica comúnmente conocida como "número de segundos necesarios antes de que el reloj pierda un segundo".
Supongamos que tenemos dos relojes, un reloj ideal que tiene átomos no perturbados que funciona a la frecuencia $f_0$ y un reloj real que hemos calibrado, por lo que nuestra mejor estimación es que funciona a $f_0$ , pero hay una incertidumbre $\delta f$ , por lo que realmente se ejecuta en $f_0 - \delta f$ . Ahora vamos a hacer funcionar estos dos relojes por tiempo $T$ y ver cuánto tiempo tenemos que correr hasta que se apagan por $\Delta T = 1 \text{ s}$ .
A medida que avanza el tiempo, cada reloj marcará un número determinado de veces. La página web $I$ es para el reloj ideal y $R$ es de verdad.
\begin{align} N_I =& f_0T\\ N_R =& (f_0 - \delta f)T \end{align}
Esto relaciona el número de ticks con la cantidad de tiempo transcurrido. Sin embargo, ¡en realidad medimos el tiempo contando los ticks! Así que podemos anotar los tiempos $T_I$ y $T_R$ que inferiríamos de cada uno de los dos relojes (multiplicando el número de oscilaciones observadas por la presunta frecuencia de oscilación $f_0$ ).
\begin{align} T_I =& N_I/f_0 = T\\ T_R =& N_R/f_0 = \left(\frac{f_0 - \delta f}{f_0}\right) T_I = \left(1 - \frac{\delta f}{f_0}\right)T_I \end{align}
Estas son las ecuaciones clave. Nótese que en la primera ecuación vemos que el tiempo inferido del reloj ideal $T_I$ es igual $T$ que, por supuesto, tenía que ser la causa porque el tiempo se define realmente por $T_I$ . Ahora, para el reloj real estimamos su lectura de tiempo dividiendo su número de ticks, $N_R$ (que es inequívoco) por $f_0$ . ¿Por qué no he dividido por $f_0 + \delta f$ ? Recuerde que nuestra mejor suposición es que el reloj real marca $f_0$ , $\delta f$ es una incertidumbre, por lo que no sabemos realmente si el reloj va rápido o lento por la cantidad $\delta f$ Sólo sabemos que no sería tan improbable estadísticamente que nos desviemos por esta cantidad. Es esta incertidumbre la que conduce a la discrepancia en la lectura del tiempo entre los relojes reales e ideales.
Ahora calculamos
\begin{align} \Delta T = T_I - T_R = \frac{\delta f}{f_0} T_I \end{align}
Así que vemos
\begin{align} \frac{\Delta T}{T_I} = \frac{\delta f}{f_0} \end{align}
Así vemos que la relación de la diferencia de tiempo $\Delta T$ al tiempo transcurrido $T$ viene dada exactamente por la relación entre la incertidumbre de la frecuencia $\delta f$ a la frecuencia del reloj $f_0$ .
Resumen
Para responder a la pregunta del candidato, no hay ningún reloj perfecto con el que podamos comparar los mejores relojes atómicos del mundo. De hecho, los relojes atómicos más precisos del mundo (relojes ópticos basados en átomos como Al , Sr. o Yb ) son en realidad órdenes de magnitud más precisos que los relojes que se utilizan realmente para definir el segundo (relojes Cs de microondas).
Sin embargo, midiendo los efectos sistemáticos podemos estimar lo lejos que está un determinado reloj real de un reloj ideal. En el ejemplo que he dado anteriormente, si sabemos que el campo magnético es inferior a 0,002 mG, sabremos que el reloj está a menos de 2 Hz de la frecuencia ideal. En la práctica, cada reloj tiene todo un zoo de efectos sistemáticos que deben ser medidos y limitados para cuantificar la precisión del reloj.
Y un último apunte. Otra métrica importante del reloj que no hemos tocado aquí es la estabilidad del reloj. La estabilidad del reloj está relacionada con el hecho de que la medición que utilizamos para determinar si hay una desintonía de frecuencia entre el oscilador de microondas y la frecuencia de transición atómica siempre tendrá cierta incertidumbre estadística (diferente del desplazamiento sistemático que he descrito anteriormente), lo que significa que no podemos decir con una sola medición cuál es exactamente la frecuencia relativa entre las dos. (En ausencia de derivas) podemos reducir esta incertidumbre estadística realizando más mediciones, pero esto lleva tiempo. Una discusión sobre la estabilidad del reloj está fuera del alcance de esta pregunta y requeriría una pregunta separada.
Marcos de referencia
Aquí hay una breve nota sobre los marcos de referencia porque se mencionan en la pregunta. La relatividad especial y general estipulan que el tiempo no es absoluto. Cambiar los marcos de referencia cambia el flujo del tiempo e incluso a veces el orden percibido de los acontecimientos. ¿Cómo podemos entender el funcionamiento de los relojes, especialmente los relojes atómicos de precisión, a la luz de estos hechos? En dos pasos.
Primero, ver esta respuesta que nos convence de que podemos tratar la superficie equipotencial gravitatoria a nivel del mar como un marco inercial. Por tanto, si todos nuestros relojes están en este marco, no habrá ningún desplazamiento relativista de la luz entre esos relojes. En primer lugar, esta es la suposición que podemos hacer sobre los relojes atómicos. Mientras estén todos dentro de este mismo marco de referencia, no tenemos que preocuparnos por ello.
Sin embargo, en segundo lugar, ¿qué pasa si nuestros relojes están a diferentes alturas? Los relojes atómicos de Boulder, Co están a más de 1500 m sobre el nivel del mar. Esto significa que tendrían desplazamientos gravitacionales con respecto a los relojes a nivel del mar. De hecho, al igual que el campo magnético, estos desplazamientos constituyen desplazamientos sistemáticos de las frecuencias de los relojes que deben ser estimados y contabilizados. Es decir, si su reloj es lo suficientemente sensible (o estable) como para medir los desplazamientos de frecuencia relativistas, entonces parte del trabajo de hacer funcionar el reloj es estimar la elevación del reloj con respecto a la superficie equipotencial del nivel del mar de la Tierra. En la actualidad, los relojes son tan estables que podemos medir dos relojes que funcionan a frecuencias diferentes si elevamos un reloj unos pocos centímetros con respecto a otro en el mismo edificio o habitación. Véase este popular artículo de noticias .
Así que la respuesta a cualquier pregunta sobre los planos de referencia y los relojes atómicos es la siguiente. Al especificar dónde se define el "tiempo" tenemos que indicar la superficie equipotencial gravitatoria o el marco de inercia que tomamos como marco de referencia. Normalmente se trata de la superficie de la Tierra. Para cualquier reloj fuera de esta referencia (recordemos que el sistema GPS utiliza relojes atómicos en los satélites) debemos medir la posición y la velocidad de estos relojes en relación con el marco de referencia terrestre para poder estimar y corregir los desplazamientos relativistas que experimentan estos relojes. Por supuesto, estas mediciones tendrán cierta incertidumbre, lo que se traduce en inexactitudes adicionales de los relojes, como se indica en el resto de mi respuesta.
Notas a pie de página
*Se podría preguntar: ¿Para qué necesitamos entonces un reloj atómico? ¿No podemos coger nuestro generador de funciones de microondas y ajustarlo a 9,192631770 GHz y utilizarlo como reloj? Bueno, claro, puedes marcar esos números en tu generador de funciones, pero lo que realmente te va a hacer polvo es "¿cómo sabemos que el generador de funciones está emitiendo la frecuencia correcta?". La respuesta es que no podemos saberlo realmente a menos que la comparemos con cualquiera que sea la definición moderna del segundo. La señal de microondas se genera probablemente multiplicando y dividiendo la frecuencia de un oscilador mecánico, como un oscilador de cuarzo o algo que tenga alguna frecuencia de oscilación nominal, pero de nuevo, no podemos saber realmente cuál es la frecuencia de esa cosa a menos que la comparemos con la definición del segundo, un átomo.
**Me he inventado este número. La transición de Cs que se utiliza para los relojes atómicos de Cs en realidad no tiene un desplazamiento Zeeman lineal, sólo un desplazamiento Zeeman cuadrático, pero eso no importa a efectos de este cálculo.
