Demostrar que si las raíces de $x^3+ax^2+bx+c=0$ forman una secuencia aritmética, entonces $2a^3+27c=9ab$

Question

Demostrar que si las raíces de $x^3+ax^2+bx+c=0$ forman una secuencia aritmética, entonces $$2a^3+27c=9ab$$

Hasta ahora, he dejado que las raíces de $x^3+ax^2+bx+c=0$ sea $r_1, r_2,$ y $r_3$ . $r_1=r_2-d$ y $r_3=r_2+d$ porque forman una secuencia aritmética con $d$ siendo la diferencia. la suma de las raíces es $-a$ . Así que, $r_2=-a/3$ . Podemos dejar que el producto de las raíces sea $-c$ . Así que, $(r_2-d)(r_2)(r_2+d)=-c$ . Enchufar $r_2=-a/3$ obtenemos $(-a/3-d)(-a/3)(-a/3+d)$ . ¿Cómo puedo continuar con este método?

EDIT: He utilizado la pista de hamam_abdallah para conseguir $\frac{-a^3}{27} + \frac{ad^2}{3} = -c$ ¿qué hago después de aplicar las fórmulas de vieta?

Answer 1

Poner $$a=3A$$ La igualdad a demostrar $$2a^3+27c=9ab$$ se convierte en

$$\boxed{2A^3+c=Ab}$$

Como usted dijo $r_2=\frac{-a}{3}= -A$ es una raíz de $$x^3+3Ax^2+bx+c=0$$ entonces

$$(-A)^3+3A(-A)^2+b(-A)+c=0$$

$$\iff \; -A^3+3A^3+c=Ab$$ $$\iff \; \boxed{2A^3+c=Ab}$$ Hecho.

Answer 2

Una pista:

Utiliza las fórmulas de Vieta: $$r_1+r_2+r_3 =-a$$ $$r_1r_2+r_2r_3+r_3r_1=b$$ y $$r_1r_2r_3 =-c$$

Answer 3

Sugerencia

Por último, hay que tener en cuenta que $$(-a/3-d)(-a/3+d) +(-a/3)(-a/3+d)+(-a/3-d)(-a/3)=b$$ da $$(-a/3-d)(-a/3+d)= b-(-a/3)(-a/3+d)-(-a/3-d)(-a/3)=b+ (a/3)(-a/3+d-a/3-d)$$

Así, $$(-a/3-d)(-a/3+d)=b- (2a^2/9)$$

Por lo tanto, $$-c=(-a/3-d)(-a/3)(-a/3+d)=(-a/3)\left( b- (2a^2/9) \right)$$

Answer 4

Hagamos esto

$(r+d)^3 +a(r+d)^2 +b(r+d) + c =(r-d)^2 + a(r-d)^2 + b(r-d) + c = r^3 + ar^2 +br + c = 0$ (leer lo oculto para conocer la visión de cómo o simplemente pasar al siguiente paso)

Visión: Ahora el truco estándar es observar que los coeficientes de las potencias pares de $d$ en $(r+d)^3 +a(r+d)^2 +b(r+d) + c$ y en $(r-d)^2 + a(r-d)^2 + b(r-d) + c $ son iguales y los coeficientes de las potencias Impares de $d$ son iguales sean de signos opuestos. Sin embargo, ambos suman el mismo valor. Así que la suma de los coeficientes de las potencias Impares suman $0$ . Es decir:

así que $\frac {[(r+d)^3 +a(r+d)^2 +b(r+d) + c]-[(r-d)^2 + a(r-d)^2 + b(r-d) + c]}2=0$ así que

$3r^2d + d^3 + 2ard + bd = 0$

Visión: Ahora tenemos $(r+d)^3 +a(r+d)^2 +b(r+d) + c = r^3 + ar^2 + br +c$ y esto es un poco menos de un truco estándar pero que significa la suma de las potencias no negativas de $d$ suman a cero. Y como sabemos que la suma de las potencias Impares suman cero, eso significa que la suma de las potencias pares también suman cero. Es decir:

Y $ [(r+d)^3 +a(r+d)^2 +b(r+d) + c]-[3r^2d + d^3 + 2ard + bd]-[r^3 + ar^2 +br + c]=0$ así que

$3rd^2 + ad^2= 0$

Si $d$ es el incremento de una secuencia aritmética entonces $d$ , presumiblemente no es igual a $0$ . Por lo demás, la "secuencia" es constante. Que.... técnicamente es una secuencia aritmética pongamos un alfiler en eso...

y si asumimos $d\ne 0$

así que $r=-\frac a3$ .... ooookay.... No me lo esperaba....

$-\frac {a^3}{27} + a\frac {a^2}9 -b\frac a3 + c = \frac {2a^3}{27}-\frac {ab}3 + c =0$ así que

$2a^3 +27c = 9ab$ .

.....

Y si $d = 0$ entonces $r+d = r=r-d$ y $r$ es una raíz triple.

Así que $x^3 + ax^2 + bx + c = (x-r)^3$

Así que $a = -3r$ y $b=3r^2$ y $c= -r^3$ . Así que $2a^3 + 27c = -2*27r^3 - 27r^3 = -81r^3$ . Y $9ab= -9*3r*3r^2 =-81r^3$ .