Una suma general de potencias de raíces de $x^2-x+q=0$

Question

Si $\alpha,\beta$ son las raíces de la ecuación $x^2-x+q=0$ y $S_r=\alpha ^r + \beta ^r$ , encontrar $S_n$ en términos de $\sum a_iS_{n-i}$ , donde $a_i$ son términos constantes para cada $S_{n-1}$ .

Traté de observar un patrón en el $S_r$ :

$S_1=1, S_2=1-2q, S_3=1-3q,S_4=1-4q(1-2q)+6q^2$

También busqué el teorema de Vietta, no funcionó.

Answer 1

Obsérvese que las raíces satisfacen $x^2 = x - q$ . En particular, satisfacen $$x^n = x^{n-1} - qx^{n-2}$$ para $n \ge 2$ . En forma de matriz, podemos escribirlo como $$\begin{bmatrix}\alpha^n \\ \alpha^{n-1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -q \\ 1 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \alpha^{n-1} \\ \alpha^{n-2}\end{bmatrix}; \quad n \ge 2.$$ Inductivamente, obtenemos $$\begin{bmatrix}\alpha^n \\ \alpha^{n-1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -q \\ 1 & 0 \end{bmatrix}^{n-1}\begin{bmatrix} \alpha \\ 1\end{bmatrix}; \quad n \ge 2.$$

Y de forma similar, tenemos lo mismo para $\beta$ . Añadiendo la ecuación similar para $\beta$ a la ecuación anterior nos da $$\begin{bmatrix}S_n \\ S_{n-1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -q \\ 1 & 0 \end{bmatrix}^{n-1}\begin{bmatrix} 1 \\ 2\end{bmatrix}; \quad n \ge 2.$$

Así, tenemos $$[S_n] = \begin{bmatrix} 1 & 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & -q \\ 1 & 0 \end{bmatrix}^{n-1}\begin{bmatrix} 1 \\ 2\end{bmatrix}; \quad n \ge 2.$$

Esta es una "forma cerrada" para una definición lo suficientemente indulgente. Si no estás satisfecho, puedes hacerlo mejor diagonalizando (si $\alpha \neq \beta$ ) la matriz anterior y obtener una forma mejor para ella.
(Sin embargo, eso no será particularmente útil ya que implicaría $\alpha^n$ y $\beta^n$ .)

Answer 2

Si $a,b$ son raíces de $$x^2-x+q=0$$ entonces tenemos $a^n(a^2-a+q)=0$ y $b^n(b^2-b+q)=0$ añadiéndolos y definiendo $S_n=a^n+b^n$ obtenemos $$S_{n+2}=S_{n+1}-qS_n \implies S_n=S_{n-1}-qS_n$$ Utilizando el último resultado podemos escribir $S_n$ en términos de $S_{n-1},~S_{n-2},~S_{n-3},....,S_0$ fácilmente.