Demostrar que una función es contractiva

Question

Estoy atascado con lo siguiente. Necesito demostrar que en $D:=[0,1]\times[0,1]$ la función $F$ es contractiva, donde $F:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}^2$ se define como:

\begin{align} F(x,y):=(\frac{1}{2} e^{-x}+\frac{y}{2},\frac{1}{3} e^{-y}+\frac{x}{3}) \end{align}

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En realidad el problema es probar: $\exists !_{(x^*,y^*)\in D}: F(x^*,y^*)=(x^*,y^*)$ utilizando el teorema del punto fijo de Banach. En primer lugar $D$ debe estar cerrado y $F(D)\subset D$ y ambas cosas son ciertas en este caso. Pero tengo que demostrar $F$ es contractiva para utilizar el teorema del punto fijo de Banach. He probado el teorema del valor medio en ambos componentes $F_1(x,y)$ y $F_2(x,y)$ pero eso no ayudó.

Me encantaría ver métodos para probar la contracción en general.

Gracias.

Answer 1

Para todos $(x,y)\in D$ y todos $(h,k)\in\mathbb{R}^2$ uno tiene: $$\mathrm{d}_{(x,y)}F\cdot(h,k)=\left(\frac{1}{2}(k-e^{-x}h),\frac{1}{3}(h-e^{-y}k)\right).$$ Dejemos que $\|\cdot\|$ sea la norma del operador asociada a $\|\cdot\|_1$ sur $\mathbb{R}^2$ , donde $\|(x,y)\|_1:=|x|+|y|$ . Permítame recordarle que, por definición, uno tiene: $$\forall u\in\mathcal{L}(\mathbb{R}^2),\|u\|=\sup_{x\in\mathbb{R}^2\setminus\{0\}}\frac{\|u(x)\|_1}{\|x\|_1}.$$ Por lo tanto, si $\|(h,k)\|_1=1$ se obtiene: $$\begin{align}\|\mathrm{d}_{(x,y)}F\cdot(h,k)\|_1&\leqslant\frac{1}{2}|k-e^{-x}h|+\frac{1}{3}|h-e^{-y}k|\\&\leqslant\frac{1}{2}(|k|+e^{-x}|h|)+\frac{1}{3}(|h|+e^{-y}|k|)\\&\leqslant\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\right)(|h|+|k|)\\&=\frac{5}{6}.\end{align}$$ Por lo tanto, uno tiene: $$\|\mathrm{d}_{(x,y)}F\|\leqslant\frac{5}{6}<1.$$ Finalmente, $F$ es estrictamente contractivo utilizando la desigualdad del valor medio.

Answer 2

La matriz jacobiana de $F$ viene dada por $$\begin{pmatrix}-\frac{1}{2}e^{-x} & \frac{1}{2}\\ \frac{1}{3} & -\frac{1}{3}e^{-y} \end{pmatrix}$$ donde el valor absoluto del mayor valor propio en valor absoluto (perdón por el juego de palabras) es $\leq \frac{1+e^{-x}}{2}$ por el Teorema del círculo de Gershgorin . De ello se desprende que $F$ es una contracción y tiene un punto fijo único sobre el conjunto compacto $[0,1]\times [0,1]$ por el Teorema de Banach(-Caccioppoli) .

Como señala C.Falcon, probablemente sea más fácil demostrar que $F$ es una fuerte contracción con respecto al $\|\cdot\|_1$ aprovechando la continuidad de Lipschitz de $g(t)=e^{-t}$ en $[0,1]$ .

Numéricamente, el punto fijo está cerca de $(0.499336,0.391739)$ .