¿Está abierta la conjetura del polinomio de Duflo?

Question

Dejemos que $G/K$ sea un espacio simétrico. Sea $\mathfrak{g}=\mathfrak{k}\oplus\mathfrak{p}$ sea una descomposición de Cartan, con la parte impar $\mathfrak{p}$ . Es bien sabido que el álgebra de invariantes diferencial invariante en este caso es conmutativa, y la "conjetura del polinomio" afirma que es isomorfa a $S(\mathfrak{p})^{\mathfrak{k}}$ . Fue formulado por C.Torossian en un artículo de 1993, pero en realidad es un caso especial de una conjetura más antigua de Duflo (aunque la referencia que conozco son las actas de una conferencia de 1986, y no las he visto).

¿Sigue abierta esta conjetura? Si lo está, me da un poco de curiosidad, porque no hay muchos espacios simétricos. ¿Cuáles son entonces los casos conocidos y los abiertos?

EDIT: La conjetura (en esta forma) fue formulada en Torossian, C., Operateurs differentiels invariants sur les espaces symetriques I. Methodes des orbites. J. Funct. Anal. 117 (1993), nº 1, 118-173. Torossian hizo una referencia a Duflo, M., en Open problems in representation theory of Lie groups, Conference on Analysis on homogeneous spaces, (T. Oshima editor), 25-30 de agosto, Kataka, Japón, 1986. (Según tengo entendido, la conjetura de Duflo es mucho más general; hay que reconocer que no he leído este texto de 1986). Un relato más reciente se encuentra en "Quantification pour les paires symétriques et diagrammes de Kontsevich" A. Cattaneo, C. Torossian, Annales Sci. de l'Ecole Norm. Sup. (5) 2008, 787--852, disponible aquí http://www.math.jussieu.fr/~torossian/

Answer 1

Por lo que sé, la conjetura de Duflo sigue abierta.

Permítanme hacer varias observaciones:

1. La conjetura de Duflo dice en realidad que el álgebra de operadores diferenciales invariantes sobre un espacio simétrico es isomorfa al $\mathfrak k$ -parte invariable de $S(\mathfrak g)/(h-\chi(h),h\in\mathfrak k)$ , donde $\chi$ es el carácter dado por la mitad de la traza de la acción adjunta de $\mathfrak k$ sur $\mathfrak p$ . este desplazamiento de un personaje no aparecía en el documento Cattaneo-Torossian y esto era muy sorprendente... efectivamente había un error en ese documento, que se corrige en Cattane-Rossi-Torossian: http://arxiv.org/pdf/1105.5973.pdf
2. La conjetura de Duflo es efectivamente más general. Es válida para espacios homogéneos reductores generales: afirma que el centro del álgebra de operadores diferenciales invariantes es isomorfo al centro de Poisson de $\big(S(\mathfrak g)/(h-\chi(h),h\in\mathfrak k)\big)^{\mathfrak k}$ .
3. El resultado de Rybnikov mencionado en el comentario de Alexander Chervov demuestra una versión localizada del mismo para los espacios homogéneos reductores de Rieman (es decir, se mantiene en el nivel de los campos de fracciones).

Answer 2

Si he entendido bien, esto se demuestra básicamente en L. Rybnikov: "Sobre la conmutatividad de los espacios homogéneos riemannianos débilmente conmutativos"

Resumen

Se dice que un espacio homogéneo riemanniano X=G/H es conmutativo si el álgebra de operadores diferenciales invariantes de G sobre X es conmutativo y débilmente conmutativo si el álgebra de Poisson asociada es conmutativa. Claramente, la conmutatividad de X implica su conmutatividad débil. La implicación inversa se demuestra en este trabajo.