Transformadas coseno y seno de Fourier de 1

Question

¿Cuál es la transformada seno y coseno de Fourier de $f(x)=1$ ? He visto que algunas fuentes se refieren a la transformación de $f=1$ que implica la función Delta de Dirac, pero esto va en contra de la definición integral para la transformada senoidal de Fourier, por ejemplo, ya que

$$\int_0^\infty f(x)\sin(x t)d x,$$

diverge cuando $f=1$ ¿no es así?

Answer 1

Se puede extender la transformada de Fourier a distribuciones como la función Delta de Dirac. Tomando la transformada de Fourier de $\delta(t)$ da

$$\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t)e^{-i\omega t}\;dt=1$$

porque

$$\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t)f(t)\;dt=f(0)$$

Si se aplica la transformada de Fourier (inversa) a 1 se obtiene

$$\mathcal{F}^{-1}1=\text{p.v.}\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}e^{i\omega t}\;d\omega=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\infty}\cos\omega t\;d\omega$$

Por supuesto, se trata de una integral divergente, pero si se utiliza en una integral de convolución tiene un significado y es útil definir

$$\delta(t)=\text{p.v.}\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}e^{i\omega t}\;d\omega=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\infty}\cos\omega t\;d\omega$$