calcular la matriz de Jordan $ \ \mathcal{M}(T) \ $

Question

Si la característica y el polinomio mínimo de una transformación lineal $ \ T: V \to V \ $ vienen dadas por $ \chi(\lambda) =(x-\lambda)^4 \ , \ m(\lambda)=(x-\lambda)^4 $ donde $ \ \lambda \ $ es un valor propio , entonces encuentre la dimensión del espacio propio $ \ E(\lambda) \ $ es decir, $ \ dim \ E(\lambda) \ $ y calcular la matriz de Jordan $ \ \mathcal{M}(T) \ $ .

Respuesta:

Aquí $ \ V \ $ es un espacio vectorial sobre $ \ \mathbb{C} \ $ .

$ \chi(\lambda) =(x-\lambda)^4 \ , \\ m(\lambda)=(x-\lambda)^4, $

Dado que las características polinómicas de $ \ T \ $ es $ \ (x-\lambda)^4 \ $ tenemos

$dim \ V=4 \ $

multiplicidad algebraica de $ \ \lambda \ $ es = $4 \ $

Pero la multiplicidad geométrica de $ \lambda \ \ is=1 \ $

Así, $ \ dim \ E(\lambda) =1 $

¿cuál sería la matriz de Jordan?

¿Estoy en lo cierto hasta ahora?

Answer 1

Si $\chi(\lambda)=(x-\lambda)^4$ el espacio vectorial $V$ tiene dimensión $4$ y su forma de Jordan es una de $$\begin{bmatrix}\lambda& 1&0 & 0 \\ 0 &\lambda& 1&0 \\ 0 & 0 &\lambda & 1 \\ 0 & 0 &0 &\lambda\end{bmatrix},\quad\begin{bmatrix}\lambda& 1&0 & 0 \\0 &\lambda& 1&0 \\ 0 & 0 &\lambda & 0 \\ 0 & 0 &0 &\lambda \end{bmatrix}, \quad\begin{bmatrix}\lambda& 1&0 & 0 \\0 &\lambda& 0&0 \\ 0 & 0 &\lambda & 0 \\ 0 & 0 &0 &\lambda\end{bmatrix},\quad\begin{bmatrix}\lambda& 0&0 & 0 \\0 &\lambda& 0&0 \\ 0 & 0 &\lambda & 0 \\ 0 & 0 &0 &\lambda\end{bmatrix}.$$ Sólo la primera forma corresponde a $m(\lambda)=(x-\lambda)^4$ . Los otros tres tienen un polinomio mínimo igual a $(x-\lambda)^3$ , $(x-\lambda)^2$ y $x-\lambda$ respectivamente.

Así que hay un único bloque de Jordan, y conocemos la dimensión del eigespacio $E_\lambda$ es el número de bloques de Jordan correspondientes al valor propio $\lambda$ tenemos $$\dim E_\lambda=1.$$

Answer 2

En este caso tenemos un bloque Jordan de tamaño $4$ para $\lambda$ es decir

\begin{bmatrix}\lambda&1&0&0\\0&\lambda&1&0\\0&0&\lambda&1\\0&0&0&\lambda\end{bmatrix}

Answer 3

$\chi(\lambda) =(x-\lambda)^4$ implica que $\dim V = 4$ y $\sigma(T) = \{4\}$ .

$m(\lambda)=(x-\lambda)^4$ implica que el tamaño del mayor bloque con el valor propio $\lambda$ es precisamente $4$ .

Como la suma de los tamaños de todos los bloques tiene que ser $\dim V = 4$ y ya tenemos un bloque de tamaño $4$ concluimos que la forma de Jordan consiste sólo en ese bloque:

$$\begin{bmatrix}\lambda&1&0&0\\0&\lambda&1&0\\0&0&\lambda&1\\0&0&0&\lambda\end{bmatrix}$$

La dimensión del eigespacio $\ker (T - \lambda I)$ es precisamente el número de bloques con el valor propio $\lambda$ . En este caso es $\dim\ker (T - \lambda I) = 1$ porque sólo tenemos una $\lambda$ -Bloque.