Sólo hay una forma natural de construir un mapa $X \times Y \rightarrow X$ para los espacios topológicos.

Question

Consideremos los funtores $\text{id}_{\textbf{Top}}$ y $(-) \times Y: \textbf{Top} \rightarrow \textbf{Top}$ podemos demostrar que sólo hay una transformación natural $\pi: (-)\times Y \implies \text{id}_{\textbf{Top}}$ ? A saber, la que da $\pi_X,$ la proyección $X \times Y \rightarrow X$ .

Intuyo que esto es así, pero ¿por qué es así para $\textbf{Top}$ y no para $\textbf{Ab}$ por ejemplo? En $\textbf{Ab}$ tenemos cero morfismos por lo que dos transformaciones naturales no iguales $\pi$ y $0: (-)\times A \implies \text{id}_{\textbf{Ab}}$ por lo que el objeto terminal no es inicial en $\textbf{Top}$ es decir, los objetos cero que no existen tienen que desempeñar algún papel en la demostración de la unicidad de $\pi$ .

Answer 1

De hecho, la proyección es la única transformación natural $f_X:X\times Y\to X$ , es decir, la proyección. No es difícil de ver, y como usted sospecha la prueba implica el elemento terminal.

Para cualquier $x\in X$ tenemos el mapa $\varphi_x:\ast\to X$ enviando el punto a $x$ . Entonces el diagrama conmutativo $$\require{AMScd} \begin{CD} \ast\times Y @>{f_\ast}>> \ast\\ @V{\varphi_x\times id_Y}VV @VV{\varphi_x}V \\ X\times Y @>{f_X}>> X \end{CD}$$ muestra que $f_X(x,y)=x$ para todos $y\in Y$ .

Como mencioné en mi comentario, esto está relacionado con el asunto de las transformaciones naturales del functor de identidad. En este caso el punto clave es que el objeto terminal no sólo es distinto de cero, sino que realmente representa el functor olvido.

Answer 2

El objeto terminal no es inicial, de hecho el objeto terminal representa el functor de olvido, y esto será útil.

En efecto, si $\theta$ es una transformación de este tipo, $\theta_* : *\times Y\to *$ está claramente determinado, y si $X$ es un espacio cualquiera, y $x\in X$ , entonces el mapa $*\to X$ enviando el punto a $x$ induce $*\times Y\to X\times Y$ enviando $(*,y)\mapsto (x,y)$ . Así que la naturalidad de $\theta$ aplicado a $*\overset{x}\to X$ te dará lo que quieres.