Demuestre que existe un $\alpha \in (0,1)$ tal que $\int_{0}^{\pi} x^{\alpha}\sin x dx=3$

Question

Demuestre que existe un $\alpha \in (0,1)$ tal que $\int_{0}^{\pi} x^{\alpha}\sin x dx=3$

Utilizando el teorema del valor medio de las integrales, obtuve que $ \exists c\in(0,\pi) \text{such that}\quad c^{\alpha}\sin c=\pi/3 $

Después de eso, no soy capaz de continuar. ¿Hay algún otro método fácil para este problema? Se necesita ayuda. Gracias de antemano.

Answer 1

Dejemos que $f(x,t)=x^t\sin x$ es continua con respecto a ambos $x$ y $t$ en $[0,\pi]$ y $[0,1]$ respectivamente y está dominado por $\phi :t \mapsto \pi$ . Por lo tanto, $g: t \mapsto \int_0^\pi f(x,t) dx$ es continua sobre $[0,1]$ y como $g(0)=2$ y $g(1)=\pi$ se puede concluir utilizando el teorema del valor intermedio.