Soy un principiante en el campo de Geometría algebraica especialmente el Teoría de la intersección . Llegué a saber que el Grupos Chow de esquemas son análogos a los grupos de homología de los colectores. Conozco al menos una motivación detrás del estudio de los grupos de homología; proporcionan invariantes del colector que pueden utilizarse para fines de clasificación. Creo que debe haber muchas motivaciones/aplicaciones de los grupos de homología, pero ahora mismo no consigo encontrarlas. ¿Puede alguno de ustedes tener la amabilidad de enumerar algunas de ellas?
Respuesta
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El libro "3264 y todo eso, un segundo curso de geometría algebraica" de Eisenbud y Harris tiene múltiples aplicaciones y motivaciones, principalmente a la geometría enumerativa. Aquí lo realmente interesante es cómo intersecar ciclos, es decir, cuál es el producto sobre $A^*(X)$ para que podamos obtener números concretos para varios problemas enumerativos.
Que yo sepa, no utilizamos $A^*(X)$ como invariante porque es realmente difícil de calcular (¡creo que no sabemos cómo calcularlo ni siquiera para las cuádricas!). En lugar de eso, empezamos con un problema enumerativo, lo traducimos en un cálculo de anillos de Chow, y esperamos ser capaces de calcular todo.
En algún caso sabemos cómo calcular $A^*(X)$ por ejemplo, si su espacio está cubierto por espacios afines de varias dimensiones (por ejemplo $\Bbb P^n$ ) entonces $A^*(X) \cong H^*(X)$ canónicamente, este es el teorema de Totaro.
Un ejemplo concreto famoso: en una superficie cúbica genérica en $\Bbb P^3$ hay $27$ líneas. Se puede demostrar con bastante facilidad utilizando las clases de Chern y el anillo de Chow de los grassmanianos.
Si quiere divertirse más, puede incluso consultar la siguiente cita de Dijkgraaf: "Un número que todo geómetra algebraico conoce es el número 2,875 porque, obviamente, es el número de líneas de un quíntico" :-)
