Consulta sobre la definición de topología del producto

Question

En James.E.Munkres en la topología del producto está escrito en la definición que

si X e Y son dos espacios topológicos Entonces la topología del producto sobre X×Y es la topología que tiene como base la colección C de todos los conjuntos de la forma U×V, donde U es un subconjunto abierto de X y V es un subconjunto abierto de Y .

Ahora bien, después de eso ya han demostrado que $C$ no es una topología. Entonces, ¿qué significa el producto topología? Cualquier ayuda será apreciada, gracias.

Answer 1

Estás mezclando las definiciones de topología y base. Munkres define una topología como

Definición. A topología en un conjunto $X$ es una colección $\mathcal{T}$ de subconjuntos de $X$ con las siguientes propiedades:

$(1)$ $\emptyset$ y $X$ están en $\mathcal{T}$ .

$(2)$ La unión de los elementos de cualquier subcolección de $\mathcal{T}$ está en $\mathcal{T}$ .

$(3)$ La intersección de los elementos de cualquier subcolección finita de $\mathcal{T}$ está en $\mathcal{T}$ .

En cambio, Munkres define la base de una topología de la siguiente manera:

Definición. Si $X$ es un conjunto, un base para una topología en $X$ es una colección $\mathfrak{B}$ de subconjuntos de $X$ (llamado elementos de base ) tal que

$(1)$ Para cada $x\in X$ hay al menos un elemento base $B$ que contiene $x$ .

$(2)$ Si $x$ pertenece a la intersección de dos elementos de base $B_{1}$ y $B_{2}$ entonces hay un elemento base $B_{3}$ que contiene $x$ tal que $B_{3} \subset B_{1}\cap B_{2}$ .

Más adelante, Munkres demuestra un lema que da la conexión entre ambos.

Lema $13.1$ . Dejemos que $X$ sea un conjunto; sea $\mathfrak{B}$ sea una base para una topología $\mathcal{T}$ en $X$ . Entonces $\mathcal{T}$ es igual a la colección de todas las uniones de elementos en $\mathfrak{B}$ .

Por tanto, una base no tiene por qué ser una topología, pero cuando tomamos todas las uniones de elementos de la base entonces obtenemos una topología. En cuanto a la topología del producto, podemos pensar en ella en relación con este lema. Munkres define la topología del producto como sigue.

Definición. Dejemos que $X$ y $Y$ sean espacios topológicos. El topología del producto en $X\times Y$ es la topología que tiene como base la colección $\mathfrak{B}$ de todos los conjuntos de la forma $U\times V$ , donde $U$ es un subconjunto abierto de $X$ y $V$ es un subconjunto abierto de $Y$ .

Específicamente lo que significa es que si se toma un conjunto abierto arbitrario $W$ en la topología del producto en $X\times Y$ entonces a la luz del lema sabemos que $$W = \bigcup_{j\in J}U_{j}\times V_{j}$$ donde $J$ es un conjunto de índices, $U_{j}$ está abierto en $X$ para cada $j\in J$ y $V_{j}$ está abierto en $Y$ para cada $j \in J.$