Evaluar la integral algebraica indefinida $\int\frac{\sqrt{22+10x+x^2}}{x}dx$

Question

$$\int \frac{\sqrt{22+10x+x^2}}{x}dx$$ Esto es lo que he intentado

$$\int\frac{\sqrt{(x+5)^2-3}}{x}dx$$

He sustituido $x+5=\sqrt{3}\sec\theta$

y luego obtuve esto $$\int\frac{3\tan^2\theta\sec\theta}{\sqrt{3}\sec\theta-5}d\theta$$

No sé cómo continuar desde aquí

Answer 1

Probablemente esta pregunta sea un duplicado, pero no he podido encontrar un antecedente cuyo integrando tenga la misma forma. Editar : Desde entonces he conseguido encontrar una, y de hecho su respuesta superior también utiliza una sustitución de Euler. Por lo tanto, he propuesto cerrar esta pregunta como un duplicado.

Una opción es empezar con la (primera) sustitución de Euler, $$\sqrt{22 + 10 x + x^2} = x + t,$$ es decir, $$x = -\frac{t^2 - 22}{2 (t - 5)}, \qquad dx = -\frac{t^2 - 10 t + 22}{2 (t - 5)^2} dt,$$ que transforma la integral original en la integral (racional) $$\int \frac{(t^2 - 10 t + 22)^2}{(t - 5)^2 (t^2 - 22)} dt .$$

Utilizando una versión racional de las fracciones parciales podemos reescribir la integral como $$\int \left(1 + \frac{88}{t^2 - 22} + \frac{3}{(t - 5)^2} - \frac{10}{t - 5}\right) dt ,$$ reduciendo el problema a la evaluación de unas pocas integrales estándar y luego a la re-sustitución para encontrar una expresión en $x$ .

La misma técnica se aplica en principio a cualquier función racional en $x, \sqrt{a x^2 + b x + c}$ (con algunas modificaciones cuando $a \neq 1$ ).

Answer 2

Continuar con \begin{align} &\int\frac{\tan^2\theta\sec\theta}{\sqrt{3}\sec\theta-5}d\theta =\int \frac{\tan^2\theta(\sqrt3+5\cos\theta)}{3-25\cos^2\theta}d\theta\\ =& \int \frac{\sqrt3 \tan^2\theta}{3\tan^2\theta-22}d(\tan \theta) +\int \frac{5\sin^2\theta}{(1-\sin^2\theta)(25\sin^2\theta-22)}d(\sin\theta) \end{align}