Diferencial/derivada de la traslación a la izquierda para grupos de Lie (matriciales)

Question

Soy muy nuevo en los grupos de Lie y en los colectores. En mi autoestudio, muchas veces me he encontrado con "diferencial (o derivada) de la traslación a la izquierda" (por ejemplo, ici ). No entiendo muy bien qué se entiende aquí por diferencial/derivada. Agradecería cualquier intento de explicar este concepto tanto formal como intuitivamente.

Por ejemplo, ¿qué significa aquí el diferencial/derivado y cómo se define? ¿La definición requiere gráficos en general (he visto cómo se definen los mapas suaves entre dos variedades)? ¿Tendría una forma más conveniente en el caso especial de los grupos de Lie matriciales? ¿Para qué sirve?

Parte de la respuesta dada a esta pregunta es definitivamente relevante. Pero no estoy seguro de dónde $$dL_{g}(v) = \frac{d}{dt}\bigg|_{t=0} L_{g}\exp(tv)$$ (Ya sé que $\exp(tv)$ es una curva en $G$ que pasa por el elemento de identidad en $t=0$ et $v$ es su vector tangente en la identidad). ¿Es ésta la definición de diferencial de $L_{g}$ ? ¿Hay una historia de fondo?

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Para concretar esta cuestión, permítanme establecer una notación estándar. Sea $G$ sea un grupo de Lie matricial. $L_g : G \to G$ para cualquier $g \in G$ asigna un elemento de $G \ni p$ a $ L_g(p) := g p$ . Entonces, el diferencial de $L_g$ , denotado por $dL_g$ es un mapeo desde un espacio tangente a cualquier $p \in G$ al espacio tangente en $L_g(p)$ .

Answer 1

Como usted señala, $dL_g:T_hG\to T_{gh}G$ (o el diferencial de cualquier mapa suave) es ya un mapa lineal bien definido entre espacios tangentes sin necesidad de hacer referencia a la estructura de grupo. En términos de velocidades de curvas, se define por: $$ dL_g\left(\left.\frac{d}{dt}\gamma(t)\right|_{t=t_0}\right)=\left.\frac{d}{dt}\left(L_g(\gamma(t))\right)\right|_{t=t_0} $$ Equivalentemente, en términos de derivaciones: $$ [dL_g(V_h)](f)=V_h(f\circ L_g) $$ Estas dos definiciones de vectores tangentes son equivalentes: podemos equiparar cada velocidad con una derivación dada por $$ \left(\left.\frac{d}{dt}\gamma(t)\right|_{t=t_0}\right)(f)=\left.\frac{d}{dt}\left(f(\gamma(t))\right)\right|_{t=t_0} $$ Si aún no está familiarizado con esto, podría valer la pena comprobar que las definiciones anteriores del diferencial coinciden.

Para entender su relación con el mapa exponencial será necesario establecer algunos hechos sobre las álgebras de Lie y el mapa exponencial.

El álgebra de Lie $\text{Lie}(G)$ pueden identificarse con dos espacios vectoriales:

• El espacio tangente $T_eG$
• El espacio de campos vectoriales invariantes a la izquierda en $G$

Para pasar de la primera a la segunda, basta con evaluar el campo vectorial en $e$ . Para pasar de un vector tangente $v\in T_e M$ a un campo vectorial $V$ dejamos que $V_e=v$ y el valor de $V$ en cualquier otro punto $g$ debe ser $V_g=dL_gv$ por invariancia de la izquierda. Por ello, a menudo utilizamos el mismo símbolo para referirnos a ambos vectores tangentes a $e$ y el correspondiente campo vectorial invariante a la izquierda. En su lugar, trataré los elementos $V\in\text{Lie}(G)$ como campos vectoriales invariantes a la izquierda y utilizar los subíndices $V_e\in T_eM$ para referirse a sus valores en determinados puntos.

El mapa exponencial $\exp:\text{Lie}(G)\to G$ viene dada por $$ \exp(V)=\gamma_V(1) $$ Donde $\gamma_V$ es la única curva integral del campo vectorial invariante a la izquierda $V$ satisfaciendo $\gamma_V(0)=e$ et $\frac{d}{dt}\gamma(t)=V_{\gamma(t)}$ (a menudo llamado el subgrupo de un parámetro generado por $V$ ). Una consecuencia de esto es que $\gamma_V(t)=\exp(tV)$ .

Dejemos que $U_e\in T_e G$ y $U$ sea el correspondiente campo vectorial invariante a la izquierda. Podemos utilizar la definición de la diferencial, y el hecho de que $\left.\frac{d}{dt}\exp(tU)\right|_{t=0}=U_e$ para llegar a la fórmula que das: $$ \left.\frac{d}{dt}\left[L_g\exp(tU)\right]\right|_{t=0}=dL_g\left.\frac{d}{dt}\exp(tU)\right|_{t=0}=dL_gU_e $$ Vemos, de forma algo más explícita, que esto es sólo una expresión de cómo $dL_g$ actúa sobre los vectores tangentes a la identidad.