Series y secuencias - Convergencia absoluta

Question

Estoy practicando para mis exámenes finales de esta semana, pero los trabajos del año pasado no tienen respuestas, así que no estoy seguro de si mis respuestas son aceptables, esperaba que alguien mirara mi prueba y me dijera si es suficiente, ¡gracias de antemano!

Problema : Supongamos que $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ converge absolutamente. Sea { $b_n$ } sea una sucesión de { $a_n$ }. Demuestre que $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$ converge.

Mi prueba (primer intento) : Desde $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ converge absolutamente, la secuencia { $a_n$ } es absolutamente convergente también. Cualquier subsecuencia de una secuencia absolutamente convergente es también absolutamente convergente, esto implica que { $b_n$ } es también una secuencia absolutamente convergente. Sea { $b_n$ } sea una secuencia de suma parcial de $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$ . Por definición de Serie, dado que la secuencia de suma parcial es convergente, la serie $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$ también es convergente.

El problema que tengo con mi primer intento es que la "secuencia absolutamente convergente" es una frase bastante controvertida para mí, ya que he visto muchas discusiones en otros posts afirmando que esto no existe o que sólo existe en ciertas condiciones. Así que, en definitiva, no sé si es una condición válida para utilizar en este problema. Además, no sé si soy capaz de dejar que { $b_n$ } sea la secuencia de la suma parcial de la serie.

Por lo tanto, esto me lleva a mi segundo intento de probar esto :

2º intento : Desde $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ es absolutamente convergente, esto significa que la secuencia de sumas parciales { $S_k$ } también es convergente. Por lo tanto, { $S_k$ } es una sucesión de { $a_n$ }. Ya que { $b_n$ } es también una sucesión de { $a_n$ }, por el Teorema de Bolzano-Weierstrass, { $b_n$ } también es convergente. Sea { $S_l$ } sea una sucesión de { $b_n$ }, y considerar $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$ . Sea { $S_l$ } sea la secuencia de sumas parciales de $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$ . Así, por la definición de serie, ya que la secuencia de sumas parciales es convergente, $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$ también es convergente.

Los problemas que tengo actualmente con esta 2ª prueba es que no estoy seguro de si estoy aplicando el teorema de Bolzano-Weierstrass correctamente. Además, al afirmar que { $b_n$ } también es convergente me parece un poco forzado, pero no tengo idea de cómo ponerlo en una declaración más convincente.

De alguna manera entiendo todos los teoremas, pero no tengo ni idea de cómo unirlos para hacer una prueba sólida para esta pregunta.

Espero que alguien pueda ayudarme con esto, gracias.

Answer 1

Dejemos que $I$ sea el conjunto de índices de la subsecuencia $b_k$ . \begin{equation} \sum_{i=1}^{\infty} b_i = \sum_{i\in I} |a_n| \leq \sum_{i=1}^{\infty} |a_n| <\infty \end{equation} Por lo tanto, $\sum b_i$ es absolutamente convergente. Ahora, dejemos que $S_n = \sum_{i=1}^{n}b_n$ . Entonces para $N>M$ , \begin{equation} |S_N - S_M| \leq \sum_{i=M+1}^N |b_n| \to 0 \text{ as } N,M \to\infty \end{equation} y por lo tanto $S_n$ es una secuencia de Cauchy. [dado $\epsilon$ , elija $M$ grande] Ya que $\mathbb{R}$ está completo, $S_n$ converge.

Nota: La última ecuación utiliza la desigualdad triangular.

Answer 2

Supongo que te refieres a una serie de números reales o complejos. El criterio de convergencia de Cauchy dice que $\Sigma_{n=1}^\infty c_n$ converge si y sólo si para cada $\epsilon > 0$ existe $m \in \mathbb{N}$ tal que para todo $m' \ge m$

$$\lvert \Sigma_{n=m}^{m'} c_n \rvert < \epsilon .$$

Ahora su serie $\Sigma_{n=1}^\infty a_n$ converge absolutamente, es decir $\Sigma_{n=1}^\infty \lvert a_n \rvert$ converge. Sea $(b_n)$ sea una sucesión de $(a_n)$ . Esto significa que tiene $b_n = a_{\varphi(n)}$ con una función estrictamente creciente $\varphi : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ . Sea $\epsilon > 0$ . Usted encuentra $m \in \mathbb{N}$ tal que para todo $m' \ge m$

$$\Sigma_{n=m}^{m'} \lvert a_n \rvert = \lvert \Sigma_{n=m}^{m'} \lvert a_n \rvert \rvert < \epsilon .$$

Entonces

$$ \lvert \Sigma_{n=m}^{m'} \lvert b_n \rvert \rvert = \Sigma_{n=m}^{m'} \lvert b_n \rvert = \Sigma_{n=m}^{m'} \lvert a_{\varphi(n)} \rvert \le \Sigma_{n=\varphi(m)}^{\varphi(m')} \lvert a_n \rvert \le \Sigma_{n=m}^{\varphi(m')} \lvert a_n \rvert < \epsilon .$$

La primera $\le$ proviene del hecho de que todos los sumandos $\lvert a_{\varphi(n)} \rvert$ con $n = \varphi(m), ..., \varphi(m')$ se presentan como sumandos adecuados de la forma $\lvert a_n \rvert$ con $n = \varphi(m), ...., \varphi(m')$ . El segundo $\le$ se debe al hecho de que $m \le \varphi(m)$ .

Answer 3

Corríjanme si se equivocan:

$S_n =\sum_{k=1}^{n}|b_k| \le \sum_{k=1}^{\infty}|a_k| =: M$ real, positivo.

1) $S_n$ está limitada por encima por $M.$

2) $S_n$ es monótonamente creciente.

De ello se desprende que $S_n$ es convergente.

3)Convergencia de $ \sum_{k=1}^{\infty}|b_k|$ implica la

convergencia de $\sum_{k=1}^{\infty}b_k.$

Nota: Para demostrar 3) utilizar el criterio de Cauchy, y la desigualdad del triángulo.

Answer 4

Si $\sum a_n$ converge entonces la secuencia $(a_n)_n$ converge a $0.$ El resto de sus intentos son "gestos". Un marcador podría darle un $0.$

Dejemos que $\sum a_n$ sea absolutamente convergente. Sea $f:\Bbb N\to \Bbb N$ sea estrictamente creciente y que $b_n=a_{f(n)}.$

Dado $\epsilon >0,$ tomar $m_1\in \Bbb N$ tal que $m_1<n_1\leq n_2\implies \sum_{n=n_1}^{n_2}|a_n|<\epsilon.$

Siempre que $n_3\leq n_4$ tenemos $$\{f(n):n_3\leq n\leq n_4\}\subset \{n\in \Bbb N: f(n_3)\leq n\leq f(n_4)\}.$$ Tome $m_2$ tal que $f(m_2)>m_1.$ Entonces $$m_2<n_3\leq n_4\implies \epsilon >\sum_{n=f(n_3)}^{f(n_4)}|a_n|\geq \sum_{n=n_3}^{n_4}|a_{f(n)}|=\sum_{n=n_3}^{n_4}|b_n|.$$ Por tanto, el criterio de Cauchy se cumple para $\sum_n|b_n|.$