Ayuda para entender esta prueba (creo que es Hensels Lifting?)

Question

Estoy leyendo una prueba que demuestra que si $a$ es un residuo cuadrático módulo $p^k$ , donde $p$ es un primo > $2$ et $k$ es un número entero positivo, entonces también es un residuo cuadrático módulo $p^{k+1}$ .

Aquí está el principio de la prueba donde estoy atascado:

Dejemos que $a$ sea un residuo cuadrático mod $p^k$ $(k \ge 1)$

$\implies x^2 = a +bp^k$ para números enteros a, b

(Aquí es donde no entiendo):

Desde $2x$ no es divisible por $p$ hay una solución de congruencia lineal $2xy \equiv -b \pmod p$ y tenemos:

$(x+yp^k)^2 = x^2 + 2xyp^k+ y^2p^{2k}= a + (b+2xy)p^k+y^2p^{2k}\equiv a \pmod {p^{k+1}}$

Puedo entender la última línea de álgebra/módulo aritmético, pero tengo problemas para entender la última línea anterior:

Desde $2x$ no es divisible por $p$ hay una solución de congruencia lineal $2xy \equiv -b \pmod p$

Creo que puede tener algo que ver con el levantamiento de Hensel, pero incluso después de un montón de lecturas me parece que no lo estoy entendiendo bien.

¿Podría alguien ayudarme con una explicación sencilla? Soy un principiante en esta área de la teoría de números. ¡Muchas, muchas gracias!

Answer 1

$\mathbb Z/p\mathbb Z$ es un campo, el elemento $2x$ de este campo no es cero, por lo que tiene un inverso multiplicativo.

Permítanme que me explaye: Dejemos que $r$ sea un número entero que no sea múltiplo de $p$ . Consideramos el resto de $nr$ después de la división por $p$ para todos $0\le n<p$ . Todos ellos son diferentes, porque si $nr\equiv n'r\pmod p$ entonces $(n-n')r$ es divisible por $p$ y como $p$ es primo y no divide $r$ , $n-n'$ tiene que ser divisible por $p$ y la única posibilidad para ello es $n=n'$ . Pero ahora si los restos de $nr$ son todos números distintos de $0$ a $p-1$ entonces en realidad cada uno de estos números tiene que ocurrir exactamente una vez. Esto significa que para $r\not\equiv0\pmod p$ et $m$ arbitrario siempre hay un $n$ tal que $nr\equiv m\pmod p$ .

No dejar $r=2x$ , $m=-b$ , $n=y$ .