Demostrar que la secuencia $cos(nx+a_n)$ no puede tender a $0$ para todo x en un conjunto de medida positiva E

Question

Se da la siguiente pista: "Demuestre primero que no puede tender a un $0$ límite. Utilice el lema de Riemann-Lebesgue". El lema de Riemann Lebesgue dice que si f es integrable, entonces $\int_{R} f(x)cos(nx) dx \to 0 $ como $ n \to \infty$ y lo mismo para el seno.

Mi intento: Que $ f_n(x)= [cos(nx) cos(a_n) - sin(nx) sin(a_n)]1_E (x), then |f_n(x)|\leq 2 (1_E(x))$ y como el indicador es integrable en R, tenemos por teorema de convergencia dominada que si $f_n(x) \to f(x)$ entonces $\int f_n(x) \to \int f(x).$ Ahora bien, si $f_n(x)$ tiende a un no $0$ límite, entonces $\int_R cos(a_n) 1_E(x) cos(nx) - \int_R sin(a_n) sin(nx) 1_E(x)dx \to c \neq 0$ . Pero el problema es que no veo cómo esto contradice el lema ya que $cos(a_n) 1_E(x)$ et $sin(a_n) 1_E(x)$ no son funciones de x solamente, dependen de n también.. ¿Puede alguien ayudarme con esto?

Note : $a_n$ es una secuencia dada.

Answer 1

Tenga en cuenta que $\cos(nx + a_n) = \cos(nx) \cos(a_n) - \sin(nx) \sin(a_n)$ .

Para cualquier conjunto $E$ de medida finita, $$ \int_E \cos(n x + a_n)\; dx = \cos(a_n) \int_{\mathbb R} 1_E(x) \cos(nx)\; dx - \sin(a_n) \int_{\mathbb R} 1_E(x) \sin(nx)\; dx$$ Por Riemann-Lebesgue, $\int_{\mathbb R} 1_E(x) \cos(nx)\; dx$ y $\int_{\mathbb R} 1_E(x) \sin(nx)\; dx$ ir a $0$ por lo que también lo hace $\int_E \cos(nx + a_n)\; dx$ . Pero si $\cos(nx + a_n) \to c \ne 0$ en $E$ Tendríamos $\int_E \cos(nx + a_n)\; dx \to c\; m(E)$ . Así que esto dice que no se puede tener un límite no nulo en cualquier conjunto de medida positiva.

EDIT: Para la segunda parte, tenga en cuenta que $\cos(2 n x + 2 a_n) =2 \cos^2(n x + a_n) - 1$ .