Historia de (la propuesta de) los fundamentos de la teoría de conjuntos

Question

Se suele decir que la teoría de conjuntos es el fundamento de facto de las matemáticas. Independientemente de la veracidad de esta afirmación, ésta parece ser la historia que se cuenta a los estudiantes (y a los matemáticos) que hurgan a sus mayores sobre los fundamentos.

Antes de continuar, permítanme declarar explícitamente que, en esta pregunta del MO, yo no soy interesado en

• si la teoría de conjuntos es realmente el fundamento de las matemáticas, o
• si la teoría de conjuntos debe servir de base a las matemáticas, o
• si la teoría de conjuntos es superior o inferior a otros posibles fundamentos como la teoría de tipos, etc.

Lo que yo soy El tema que nos interesa es el de las razones históricas por las que la teoría de conjuntos ha sido considerada como el marco fundacional unificador en primer lugar. Mis preguntas no son controvertidas y tienen (espero) respuestas definitivas:

¿Quién propuso primero que las matemáticas pueden/deben basarse en fundamentos teóricos de conjuntos? ¿Cómo lo aceptó la comunidad matemática?

Permítanme explicar por qué me interesa esta cuestión y, a continuación, enumerar mis dos conclusiones.

Los matemáticos que no son lógicos suelen considerar la teoría de conjuntos sólo como un marco fundacional. Este punto de vista parece ser algo irrelevante para el punto de vista de un teórico de conjuntos uniformemente elegido que suele ver la teoría de conjuntos como el estudio del transfinito y la estructura de jerarquía de los conjuntos. Evidentemente, estas investigaciones pueden tener implicaciones fundacionales y, por lo tanto, pueden ser importantes incluso si sólo se adopta el primer punto de vista.

Sin embargo, por lo que veo, el desarrollo de la teoría de conjuntos no parece estar alimentado por su papel fundacional. Por ejemplo, en este artículo de Kanamori, hay varios lugares donde alude a esto:

La teoría de conjuntos tuvo sus comienzos no como un fundamento abstracto para matemática, sino como un escenario para la articulación y solución del Problema del Continuo: determinar si hay más de dos potencias incrustadas en el continuo.

Con los ordinales y el reemplazo, la teoría de conjuntos continuó su desplazamiento de las pretensiones de un fundamento general a una teoría más específica de de lo transfinito, un proceso alimentado por la incorporación de la de la fundamentación.

Del relativismo de Skolem al relativismo de Cohen el papel de la teoría de conjuntos para matemática se convertiría aún más evidentemente en un marco abierto marco abierto en lugar de un fundamento esclarecedor.

Suponiendo que todas estas afirmaciones sean válidas, parece sorprendente (y casi contradictorio ) que los matemáticos de cierta época, la mayoría de los cuales presumiblemente ni siquiera conocen la teoría de conjuntos, decidieron seguir el juego y aceptar los fundamentos de la teoría de conjuntos. Por eso me gustaría conocer la historia de este proceso. Esto es lo que he aprendido a través de una discusión en Twitter con Kameryn Williams:

En un discurso de la ASL de 1949 Bourbaki escribe lo siguiente en la página 7:

Como todo el mundo sabe, todas las teorías matemáticas pueden ser consideradas como extensiones de la teoría general de los conjuntos, por lo que, para aclarar mi posición en cuanto a los fundamentos de las matemáticas, sólo me queda para aclarar mi posición en cuanto a los fundamentos de las matemáticas, sólo me queda enunciar los axiomas que utilizo para esa teoría.

Parece que el hecho de que la teoría de conjuntos pueda codificar todas las teorías matemáticas era un "hecho conocido" en 1949. En este artículo de la SEP Al principio de la sección 3, José Ferreirós afirmó (sin referencia, pero haciéndose eco del capítulo III, sección 4 de su libro de 1999) que

A finales del siglo XIX, estaba muy extendida la idea de que el matemática pura no es más que una forma elaborada de aritmética. Así, era era habitual hablar de la "aritmetización" de las matemáticas, y de cómo de la matemática, y de cómo ésta había alcanzado los más altos niveles de rigor. Con Dedekind y Hilbert, este punto de vista condujo a la idea de fundamentar toda la matemática pura matemáticas puras en la teoría de conjuntos . Los pasos más difíciles para llevar a cabo este punto de vista ha sido el establecimiento de una teoría de los números reales y una reducción teórica de los números naturales. Ambos Ambos problemas fueron resueltos por los trabajos de Cantor y Dedekind.

Así, la primera propuesta de fundamentos teóricos de conjuntos puede remontarse incluso a la época anterior a la ZFC. Desgraciadamente, como no sé alemán, no he podido localizar el mencionado trabajo de Dedekind y Hilbert. Según este artículo de la SEP, parecen ser los principales sospechosos, pero no tengo otras fuentes.

Answer 1

No sé por qué esperas que haya una respuesta clara a una pregunta tan amplia. El El artículo de la SEP que citó demuestra que, como la mayoría de las cuestiones históricas, la respuesta es complicada y confusa.

Su pregunta utiliza el término matemáticas en lo que podría ser una manera ligeramente anacrónica. Deduzco que cuando se habla de matemáticas usted ve las matemáticas como una totalidad unificada, capaz de ser puesta en un solo fundamento. La única cuestión es si la teoría de conjuntos debe ser elegida como ese fundamento, no si tiene sentido hablar de un fundamento para todas las matemáticas. Pero al plantear la cuestión de esa manera, ya estás conceptualizando las cosas de una forma que llegó bastante tarde a la historia. En el siglo XIX se hablaba de los fundamentos de la geometría, o de los fundamentos del análisis, o de los fundamentos de la aritmética. Especialmente en el caso del análisis, pero también en el caso de la geometría, la gente se aferró a las ideas de la teoría de conjuntos. Así que, en cierto sentido, la teoría de conjuntos ya se consideraba entonces una herramienta fundacional. Pero si se pregunta cuándo se concibió por primera vez que se podían establecer axiomas para la teoría de conjuntos, y que estos axiomas podían utilizarse como base para todo matemáticas, ese desarrollo posiblemente no se produjo hasta Zermelo. Por otro lado, en la época de Zermelo, el concepto general de que la teoría de conjuntos desempeña un papel fundacional ya llevaba un tiempo flotando. Así que, de nuevo, no creo que haya una respuesta clara a la pregunta tal y como la has formulado.

Answer 2

Véase la segunda ampliación (9/7/22).

Gracias a los trabajos de Cantor, Dedekind, Weierstrass y otros, el análisis se situó en una base teórica de conjuntos ingenua (no axiomática). Sin embargo, con el descubrimiento de las paradojas de la teoría de conjuntos, esta base se puso en tela de juicio y se emprendió la búsqueda de una base adecuada. De las diversas alternativas que surgieron, la teoría axiomática de conjuntos fue la más popular. La idea de que la teoría axiomática de conjuntos proporciona un fundamento para todas las matemáticas evolucionó a partir del papel que se percibió que desempeñaba para el análisis.

Editar (Amplificación). En el artículo de Zermelo de 1908 sobre la axiomatización de la teoría de conjuntos no describe la teoría de conjuntos como un fundamento de las matemáticas, sino más bien "como un componente indispensable de la ciencia de las matemáticas" debido al papel que desempeña en la investigación, " número, orden y función ". Sin embargo, en 1922 la situación era muy diferente. En efecto, en el documento Algunas observaciones sobre la teoría de conjuntos axiomática En el artículo en el que T. Skolem llamó la atención sobre algunas de las limitaciones de los axiomas de Zermelo, observó que: " En los últimos tiempos he visto con sorpresa que tantos matemáticos piensan que estos axiomas de la teoría de conjuntos proporcionan el fundamento ideal de las matemáticas; por lo tanto, me pareció que había llegado el momento de publicar una crítica ." (T. Skolem, Some Remarks on Axiomatized Set Theory in De Frege a Gödel Editado por Jean van Heijenoort, p. 301).

Segunda edición (Ampliación adicional). En 1927, la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel ya estaba en marcha y pronto pasó a ser considerada como el marco fundacional que Skolem observó que muchos habían atribuido originalmente a la teoría de Zermelo. Con este telón de fondo, Kurt Gödel comenzó su trascendental teoría de la incompletitud (presentado en noviembre de 1930 y publicado en 1931) como sigue:

El desarrollo de las matemáticas hacia una mayor precisión ha llevado, como es sabido, a la formalización de grandes extensiones de las mismas, de manera que se puede demostrar cualquier teorema utilizando sólo algunas reglas mecánicas. Los sistemas formales más completos que se han establecido hasta ahora son el sistema de Principia Mathematica, por un lado, y el sistema de axiomas de Zermelo-Fraenkel de la teoría de conjuntos (desarrollado posteriormente por J. von Neumann), por otro. Estos dos sistemas son tan completos que en ellos todos los métodos de demostración utilizados hoy en día en matemáticas están formalizados, es decir, reducidos a unos pocos axiomas y reglas de inferencia. (Sobre las proposiciones formalmente indecidibles de Principia Mathematica y sistemas relacionados en De Frege a Gödel pp. 596-597.)

Answer 3

Para Timothy Chow - El "Curso de Matemáticas Puras" de G.H. Hardy (primera edición de 1908, segunda edición de 1914, es decir, antes de que Russell escribiera) incluía la integración, la diferenciación, las series de Taylor, el teorema de Heine-Borel y mucho más. Así que no creo que el análisis se considerara "aplicado". Hardy escribía para estudiantes (brillantes) de primer año, por lo que no hace hincapié en los aspectos fundamentales, pero define un número real como un corte Dedekind en los racionales y luego procede a definir la suma, la multiplicación, etc, de los números reales en términos de operaciones sobre conjuntos de números racionales.

La tercera edición del libro de Hardy está disponible en línea en https://www.gutenberg.org/files/38769/38769-pdf.pdf . En el prefacio de la tercera edición se afirma que "en esta edición no se han introducido grandes cambios", por lo que podemos tomarla como una buena aproximación a la edición de 1914.

Answer 4

No es una respuesta completa, pero puede ser relevante.

Russell, en Introducción a la filosofía matemática (1919) simplemente afirma que los axiomas de Peano son los fundamentos de las matemáticas sin mucha discusión.

Una vez reducida toda la matemática pura tradicional a la teoría de los números naturales, el siguiente paso en el análisis lógico fue reducir esta teoría al menor conjunto de premisas y términos indefinidos de los que pudiera derivarse. Este trabajo fue realizado por Peano. Demostró que toda la teoría de los números naturales podía derivarse de tres ideas primitivas y cinco proposiciones primitivas, además de las de la lógica pura. Estas tres ideas y cinco proposiciones se convirtieron así, por así decirlo, en rehenes de toda la matemática pura tradicional. Si podían definirse y demostrarse en términos de otras, también podía hacerlo toda la matemática pura.

A continuación, habla de clases en términos de conjuntos en el capítulo 2.

Answer 5

Actualmente no tengo acceso a una biblioteca académica para dar buenas referencias, pero puedo hablar un poco de esto. Todo tiene que ver con el Cálculo y sus aplicaciones (especialmente las ecuaciones diferenciales, y quizás cosas como la teoría analítica de números).

Básicamente, los años 1400 a 1700 fueron como el salvaje oeste de las matemáticas. Los matemáticos utilizaban un montón de trucos bonitos que "parecían" funcionar, pero cuya verdadera validez se desconocía. Nociones como el infinito no estaban claras. Incluso los números naturales no estaban definidos de forma "rigurosa".

Los épsilones y deltas de Weierstrass ayudaron, pero básicamente ignoraron la cuestión del infinito (al ocultarlos tras los límites de las secuencias).

Las cuestiones del infinito eran problemáticas, porque dependiendo de lo que se "haga" cuando se "alcanza" un infinito, se pueden obtener diferentes modelos de un objeto. (Esto no estaba muy claro en su momento, pero Brouwer se hacía las preguntas correctas, al menos)

Y entonces llegó Joseph Fourier, que quería sumar infinitas ondas sinusoidales para aproximar cualquier función periódica continua. Su trabajo fue rechazado, básicamente porque estaba muy alejado de los fundamentos con los que los matemáticos de la época se sentían cómodos (es decir, el saco de trucos en el que confiaban).

Pero al mismo tiempo, la gente realmente quería que el análisis de Fourier funcionara.

Así pues, hubo un período de gran interés por los fundamentos, que finalmente condujo a la teoría ingenua de conjuntos de Cantor, y luego a una teoría de la mensurabilidad y a esos aspectos del análisis real, y finalmente a la teoría de conjuntos "moderna", en la que se llevan a sus límites las propiedades de los objetos básicos (conjuntos, números cardinales, números ordinales). De hecho, en algún momento alrededor de 1905 se hizo evidente que la integral de Lebesgue era el escenario "correcto" para el análisis "general" de Fourier.

Pero una vez concluido ese proyecto, la teoría de conjuntos siguió desarrollándose (jerarquías, árboles; la rama conocida como teoría descriptiva de conjuntos; comparación de propiedades de valores en jerarquías, o incluso de las propias jerarquías). En este punto es donde se encuentra la teoría de conjuntos hoy en día.