¿Qué es el DAG y qué tiene que ver con las ideas de Voevodsky?

Question

En el artículo de Toen y Vezzosi De HAG a DAG: pilas de módulos derivados se da una especie de definición de DAG. No soy un experto y no puedo ver cuál es la relación entre el DAG y las ideas de cohomología motivacional de Voevodsky (particularmente su categoría $DG$ ). Estaría bien que alguien me lo explicara.

Además, tengo mucho interés en ver cómo se pueden utilizar estas ideas en un ejemplo explícito. Si tuviera que explicar a alguien por qué la cohomología motivacional es algo bueno, sin duda mencionaría la prueba de la conjetura de Milnor. Pero, ¿se puede ver el uso de las ideas derivadas en un ejemplo más explícito y realista?

Answer 1

DAG es la tesis de Jacob Lurie. También representa todo el tema llamado "Geometría Algebraica Derivada". Se trata del uso de las categorías estables del infinito para construir espacios geométricos generalizados. Así, en particular, tenemos pilas algebraicas superiores, descensos superiores, topos superiores, espacios de módulo superiores, etc.

El trabajo de Voevodsky que has mencionado "vive" en este mundo de la geometría algebraica derivada. En particular, estoy pensando en su uso de presheaves simplicial.

Un ejemplo que se me ocurre... hmm...

Esta no es la mejor, pero resulta que las categorías trianguladas no son más que categorías que "parecen" categorías de homotopía de categorías estables del infinito. En este entorno, resulta que el axioma octaédrico, muy poco natural, se convierte en una consecuencia natural de los datos categóricos superiores.

La categoría derivada de la categoría de complejos de cadena en una categoría abeliana es en realidad la misma que la categoría de homotopía de la categoría de infinito estable de complejos de cadena.

Esto explica en cierto modo a qué se refiere la gente cuando dice que la homología y la cohomología viven naturalmente en categorías superiores.

Answer 2

En respuesta a la última parte de su pregunta sobre la explicación de por qué la teoría de la homotopía motivacional es algo bueno, consulte mi pregunta reciente sobre las aplicaciones de la teoría K algebraica a la teoría de los números. Tanto la pregunta como la respuesta hacen referencia a la homotopía motivacional y a cómo ésta ayuda al estudio de los grupos K. En particular, se podría utilizar Conjetura de Vandiver y las demás aplicaciones de la teoría K como buenas razones para preocuparse por la teoría de la homotopía motivacional.