¿Qué es el DAG y qué tiene que ver con las ideas de Voevodsky?

Question

En el artículo de Toen y Vezzosi De HAG a DAG: pilas de módulos derivados se da una especie de definición de DAG. No soy un experto y no puedo ver cuál es la relación entre el DAG y las ideas de cohomología motivacional de Voevodsky (particularmente su categoría $DG$ ). Estaría bien que alguien me lo explicara.

Además, tengo mucho interés en ver cómo se pueden utilizar estas ideas en un ejemplo explícito. Si tuviera que explicar a alguien por qué la cohomología motivacional es algo bueno, sin duda mencionaría la prueba de la conjetura de Milnor. Pero, ¿se puede ver el uso de las ideas derivadas en un ejemplo más explícito y realista?

Answer 1

Son muy diferentes. Ambas implican una mezcla de geometría algebraica y teoría de la homotopía, pero no de la misma manera: En DAG se utilizan anillos más homotópicos para los afines básicos, mientras que en el trabajo de Voevodsky/Morel se piensa en una variedad como una especie de espacio y se intenta capturar el tipo de homotopía de ese espacio de forma universal. De forma aún más general, en DAG estás inyectando la heroína de la teoría de la homotopía en los fundamentos de la geometría algebraica, manteniendo la misma forma; pero en la teoría de la homotopía motivacional estás tratando de empujar las variedades a ese reino decadente, aflojándolas un poco, y cambias fundamentalmente su forma.

Answer 2

Hay un bonito patrón general aquí:

Dejemos que $C$ sea una categoría de espacios de prueba sobre la que queremos modelar espacios más generales. Entonces

• un "espacio muy general" modelado en $C$ es un objeto en el gros ∞-topos $Sh_{(\infty,1)}(C)$ de ∞-pilas en $C$ .

Morel-Voevodsky toman a C como el Sitio de Nisnevich . Entonces $Sh_{(\infty,1)}(C)$ es el ∞-topos cuyo cohomología intrínseca es cohomología motivacional .

Aquí C resulta ser una categoría ordinaria. De forma más general, podríamos tomar C como una categoría ∞ en sí misma. En ese caso $Sh_{(\infty,1)}(C)$ podría llamarse el ∞-topos de pila derivada s. Lo que hace Toen Vezzosi en HAG I y II es ofrecer una presentación teórica de la teoría de los modelos. Por eso los artículos parecen difíciles de leer: se trata de una forma basada en componentes para describir un concepto abstracto elegante.

Ahora, los objetos en $Sh_{(\infty,1)}(C)$ son espacios "muy generales" modelados en $C$ . Sin embargo, hay una cadena de ∞-subcategorías de espacios más "domesticados" en su interior:

• en primer lugar están aquellos ∞-apilamientos en C que están representados por un ∞-apilamiento con una gavilla de estructura valorada en C. Estos son los estructurado ∞-topos que generalizan la noción de espacios anillados.

• y luego entre estos están los que son localmente equivalente a los objetos en C. Estos son los esquemas generalizados o "esquema derivado" si C es convenientemente ∞-categórico.

El patrón aquí se revisa en nociones de espacio .

En principio, uno podría considerar tales "esquemas derivados" también en el gros ∞-topos de Morel-Voevodsky de ∞-pilas en el sitio de Nisnevich, sólo que parece que hasta ahora nadie investigó esto. Pero hay todo tipo de ejemplos de categorías de espacio de prueba C que la gente todavía tiene que empujar a través de esta tontería general. Por ejemplo, podemos considerar que C es simplemente la categoría de las variedades lisas. Entonces las generalidades anteriores escupen la noción de colector liso derivado .

La gracia es que todas estas cosas se unifican en una gran imagen. No se trata de la geometría derivada de Toen/Vezzosi/Lurie por un lado y de la cohomología de Morel/Voevodsky por otro. En cambio, todo esto es parte de una gran imagen.

Y también, si se me permite decir esto aquí, esta gran imagen realmente no se limita a la geometría algebraica. Lurie's noción de espacio es mucho, mucho más general. Describe la GEOMETRÍA. De cualquier tipo.

Answer 3

No puedo decirte mucho sobre la relación con el trabajo de Voevodsky, pero puedo darte un rápido resumen de la Geometría Algebraica Derivada.

En DAG se amplía la categoría de objetos geométricos que se pueden estudiar. Lo más fácil es utilizar el enfoque functorial. Así que un esquema es sólo un functor de anillos conmutativos a conjuntos.

Ahora vamos a ampliar primero esta categoría en la dirección del stacky. Esto significa que cambiamos el objetivo de nuestro functor. En lugar de estudiar sólo funtores valorados por conjuntos, permitiremos funtores valorados por grupos. Esto nos lleva a los apilamientos a los que estamos acostumbrados. Pero para algunos problemas de módulos complicados los grupoides no pueden codificar suficiente información. Así que haremos la categoría objetivo aún más grande y permitiremos funtores valorados por conjuntos simpliciales. Así que ahora hay que estudiar la categoría de funtores de anillos conmutativos a conjuntos simpliciales, también llamada la categoría de presheaves simpliciales. En esta categoría hay que imponer las condiciones de descenso y atlas adecuadas para encontrar los objetos que tienen derecho a ser llamados geométricos. Estos tipos se llamarán conjuntos superiores.

Creo que lo que hemos hecho hasta ahora es muy parecido a la construcción de Voevodsky. Pero no soy en absoluto un experto en esto. Probablemente uno de los expertos aparecerá aquí pronto y lo explicará.

Hasta ahora no hemos derivado nada. Eso empieza cuando se amplía también la categoría de dominio. La "categoría derivada" natural para los anillos conmutativos son los anillos conmutativos simpliciales. Eso es porque la categoría de anillos conmutativos no es abeliana, y entonces los objetos simpliciales son un buen reemplazo para los complejos de cadena. La geometría algebraica derivada es, pues, el estudio de los funtores de anillos conmutativos simpliciales a conjuntos simpliciales, o de presejos simpliciales sobre anillos conmutativos simpliciales. De nuevo hay que encontrar los funtores dentro de esta categoría con las condiciones de descenso y atlas adecuadas, y eso es mucho trabajo. Estos tipos se llaman entonces esquemas derivados, conjuntos derivados y conjuntos superiores derivados.

La intuición geométrica para estos esquemas y pilas derivadas es que son esquemas ordinarios más una nube difusa de nilpotentes con esteroides a su alrededor. Pueden codificar mucha más información en su gavilla estructural que los esquemas ordinarios. Un buen ejemplo es la intersección de dos subesquemas en un esquema ambiental. Entonces se puede construir una "intersección derivada". Esta intersección derivada ha codificado intrínsecamente en su hoja de estructura que es una intersección, algo que nunca se podría lograr con los nilpotentes normales.

La diferencia entre el enfoque de Toen-Vezzosi y el de Lurie es que los televisores utilizan categorías modelo mientras que Lurie utiliza categorías infinitas-1. El enfoque que se utilice en realidad es una cuestión de gustos. Creo que la analogía es trabajar sin coordenadas o con coordenadas.

Un último comentario: Si se consultan los artículos de la página web de Luries o el libro de Toen-Vezzosis Homotopical Algebraic Geomtery II, se verá que trabajan con una generalidad mucho mayor. Hacen todo el programa no sobre la categoría de anillo conmutativo simplicial, sino para categorías modelo bastante generales. Si realmente sólo te interesa el DAG, están los apuntes del curso de Toen en su página web o la tesis original de Luries.

Answer 4

Por lo que tengo entendido (que no está lejos con lo de Voevodsky) hay tres diferencias entre las dos direcciones:

1. La teoría de la homotopía motivacional se refiere a gavillas de espacios en la topología de Nisnevich, que es más gruesa que la etale o plana. Esto significa que aquí podemos tener más objetos que no se permiten en el mundo DAG/stacky. Por ejemplo, la teoría K algebraica satisface la descendencia Nisnevich pero no la etale, por lo que no vive en el mundo stacky. Sería estupendo que alguien pudiera dar una sensación intuitiva de lo mucho más generales que pueden ser las láminas de Nisnevich que las de etale, para tener una idea de lo fundamental que es esta diferencia.

2. Como han mencionado varias personas, en DAG podemos extender desde pilas sobre anillos hasta pilas sobre anillos derivados de un tipo u otro. Esto es importante para las aplicaciones, pero no es una diferencia fundamental con la teoría de la homotopía motivacional, ya que ciertamente se puede imaginar la combinación de ambas como dice Urs.

3. La diferencia más fundamental en mi opinión (que parece faltar en todas las respuestas excepto en la de Charles) es la inversión de la línea afín, pasando a $\mathbb A^1$ teoría de la homotopía (aunque presumiblemente esto está implícito en las metáforas de Dustin). Esto cambia fundamentalmente la naturaleza de los objetos geométricos en la teoría de homotopía motivacional, haciéndolos mucho más flexibles y "homotópicos" que los de DAG (comparado con esto, presumiblemente la flexibilidad extra de trabajar en topología de Nisnevich es sólo un paso menor ). Por supuesto, uno puede probablemente considerar tales operaciones en DAG, como sugiere Charles, pero en términos de los sabores y aplicaciones actuales de las dos áreas esto me parece una gran diferencia. Es en este sentido que la teoría de la homotopía motivacional es realmente hacer teoría de la homotopía para esquemas -- en la teoría de DAG y pilas superiores mantenemos la dirección del esquema sola (o permitimos que se engrose infinitesimalmente en una dirección derivada) y sólo homotopizamos los valores de funtores de puntos, mientras que $\mathbb A^1$ La homotopía añade un tipo de topología completamente diferente al juego.

Answer 5

Me sumo a las otras respuestas con un comentario especulativo:

Presumiblemente, debería ser posible "hacer Morel-Voevodksy en DAG". Por lo tanto, empezar con alguna categoría conveniente de derivado esquemas $C$ definimos una noción de gavilla de Nisnevich sobre $C$ , escoge un objeto $I$ en $C$ (¿la línea afín?), y localizar forzando $I\to *$ para ser una equivalencia.

No tengo ni idea de si esto es algo interesante.