Una red de agentes secretos, numerados desde $1$ a $n$ han establecido el siguiente protocolo de comunicación aleatoria. A una señal precisa preestablecida, cada agente envía un mensaje a exactamente uno de los otros $n 1$ agentes, elegidos independiente y uniformemente al azar. Por ejemplo, si $n = 3$ entonces los agentes 1 y 2 podrían enviar sus mensajes al agente 3, mientras que el agente 3 envía su mensaje al agente 1.
(a)Un agente se aburre si ningún otro agente le envía un mensaje. Sea $B(n)$ denotan el número esperado de agentes aburridos. Lo que es $\lim_{n\to\infty} B(n)/n$ ?
(b) Un agente está saturado si más de un agente le envía un mensaje. ¿Cuál es $\lim_{n\to\infty} S(n)/n$ ?
(c)Supongamos que cada agente puede aceptar como máximo un mensaje. Así, cada agente inundado acepta uno de los mensajes que se le envían, elegido arbitrariamente, y rechaza el resto. (En el escenario del ejemplo, se rechaza exactamente un mensaje). $R(n)$ denotan el número esperado de mensajes rechazados. Lo que es $\lim_{n\to\infty} R(n)/n$ ?
Ya he calculado la parte (a) y (b), que debería ser $\lim_{n\to\infty} B(n)/n = 1/e$ y $\lim_{n\to\infty} S(n)/n= 1 - \frac{1}{e}$ .
Sin embargo, estoy atascado con la parte (c), intento definir una variable aleatoria indicadora $$R_i = \begin{cases} 1 & \text{if agent $i$'s message is rejected} \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}.$$ Estoy atascado en el cálculo de la probabilidad del agente $i$ mensaje es rechazado, ¿cuál debería ser la forma correcta de calcular la parte (c)?
