¿Hay alguna razón combinatoria para que el (-1)º número catalán sea -1/2?

Question

El $n$ El número catalán se puede escribir en términos de factoriales como $$ C_n = {(2n)! \over (n+1)! n!}. $$ Podemos reescribir esto en términos de funciones gamma para definir los números catalanes del complejo $z$ : $$ C(z) = {\Gamma(2z+1) \over \Gamma(z+2) \Gamma(z+1)}. $$ Esta función es analítica excepto cuando $2n+1, n+2$ o $n+1$ es un número entero no positivo, es decir, en $n = -1/2, -1, -3/2, -2, \ldots$ .

En $z = -2, -3, -4, \ldots$ el numerador de la expresión para $C(z)$ tiene un polo de orden 1, pero el denominador tiene un polo de orden $2$ Así que $\lim_{z \to n} C(z) = 0$ .

En $z = -1/2, -3/2, -5/2, \ldots$ el denominador es sólo un número real y el numerador tiene un polo de orden 1, por lo que $C(z)$ tiene un polo de orden $1$ .

Pero en $z = -1$ : - $\Gamma(2z+1)$ tiene un polo de orden $1$ con residuos $1/2$ ; - $\Gamma(z+2) = 1$ ; - $\Gamma(z+1)$ tiene un polo de orden $1$ con residuos $1$ . Por lo tanto, $\lim_{z \to -1} C(z) = 1/2$ por lo que podríamos decir que el $-1$ El número catalán es $-1/2$ .

¿Existe una interpretación de este hecho en términos de alguno de los innumerables objetos combinatorios que cuentan los números catalanes?

Answer 1

Aquí tienes una explicación de por qué, hasta donde yo sé, la respuesta a tu pregunta debería ser "no", y -1/2 no es realmente un número catalán.

La función generadora $C(x)=\sum_{n=0}^\infty C_n x^n$ para los números catalanes (con la interpretación habitual a partir de $C_0=1$ ) satisface la relación funcional $$C(x) = 1 + xC(x)^2,$$ y a partir de ella podemos derivar la expresión de forma cerrada $C(x)=\frac{1-\sqrt{1-4x}}{2x}$ .

La fórmula que escribiste arriba para el número catalán $C_n$ en términos de factoriales, o la función gamma, es realmente expresar los coeficientes de la expansión de Taylor de $F(x)= \frac{-\sqrt{1-4x}}{2x}$ . Resulta que esto coincide con los coeficientes de $C(x)$ para potencias no negativas de $x$ pero no para el $x^{-1}$ término, ya que $ F(x) = -\frac12 x^{-1} + C(x).$

Así que ahora la pregunta es, ¿estamos realmente seguros de que $C(x)$ es la función generadora catalana "correcta" en lugar de $F(x)$ ? Pues sí, porque $C(x)$ es la que satisface la relación funcional anterior, lo que lleva a todas las bonitas interpretaciones combinatorias . La función $F(x)$ por otro lado, no satisface ninguna ecuación particularmente agradable--- hay $F(x)^2 = \frac14 x^{-2} - x^{-1}$ que no veo una interpretación natural para la combinatoria.

Answer 2

Cualquiera que sea la interpretación combinatoria que se le ocurra a alguien tiene que contar de alguna manera el número de árboles ordenados en 0 vértices como $-1/2$ . El uso de técnicas de recuento como las que defiende Báez permite dar sentido a los recuentos generalizados, pero los recuentos negativos llevan la "combinatoria" bastante lejos.